Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

( a ) Utilizando a transformada de Laplace, resolva o P V I dado por y = y ( t ) :

d 2 y d t 2 + 4 y = 0 ,     t < 1 1 - t 2 ,     1 ≤ t

E condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 , sendo y ' = d y d t .

Passo 1

Partiu resolver umas EDOs que tenham função degrau? Hehehe

Primeiro, vamos entender uma coisinha: quando temos uma função:

u t - c = 0 ,     t < c 1 ,     t > c

Podemos multiplicá-la por f ( t - c ) :

f t - c u t - c = 0 ,     t < c f t - c ,     t > c

E a transformada dessa coisa linda será:

L f t - c u t - c = e - c s L f t

Olha o que foi dado no enunciado:

d 2 y d t 2 + 4 y = 0 ,     t < 1 1 - t 2 ,     1 ≤ t

Perceba que 1 - t 2 = t - 1 2 . Então vamos trocar só pra deixar bonitinho:

d 2 y d t 2 + 4 y = 0 ,     t < 1 t - 1 2 ,     1 ≤ t

No nosso caso, concorda que c = 1 ? Então aplicando Laplace em tudo, temos:

L [ y ' ' + 4 y ] = L [ f t ]

L y ' ' + 4 L y = e - s L [ t 2 ]

Vamos aplicar os laplaces:

L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 = s 2 L y - 1

L t 2 = 2 ! s 3

Lembrando que L t n = n ! s n + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os laplaces encontrados na equação:

s 2 L y - 1 + 4 L y = e - s 2 ! s 3 L y s 2 + 4 = e - s 2 s 3 + 1 L y = e - s 2 s 3 s 2 + 4 + 1 s 2 + 4 = e - s 2 s 3 s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

Utilizando fração parcial:

2 s 3 s 2 + 4 = a s 2 + b s + c s 3 + d s + e s 2 + 4 = a + d s 4 + b + e s 3 + c + 4 a s 2 + 4 b s + 4 c s 3 s 2 + 4

a + d = 0 b + e = 0

c + 4 a = 0

4 b = 0 → b = 0

4 c = 2 → c = 1 2

e = 0

a = - 1 8

d = 1 8

Substituindo:

L y = e - s 2 s 3 s 2 + 4 + 1 s 2 + 4 = e - s - 1 8 s + 1 2 s 3 + s 8 s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

L y = e - s - 1 8 s + 1 2 s 3 + s 8 s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

Organizando:

L y = e - s 8 - 1 s + 4 s 3 + s s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

Passo 3

Então galera vamos resolver cada parte, para isso primeiro vamos organizar isso tudo

L y = e - s 8 L y 1 + L y 2 + L y 3 + L y 4

Onde

L y 1 = - 1 s

L y 2 = 4 s 3

L y 3 = s s 2 + 4

L y 4 = 1 s 2 + 4

Fizemos isso porque achando cada y ali de cima temos as parcelas da solução. Depois é só somar tudo

Começando com y 1

L y 1 = - 1 s

Temos

L t n = n ! s n + 1

Com n = 0 :

L t 0 = 0 ! s 0 + 1 = 1 s

Então:

y 1 = - t 0

y 1 = - 1

Passo 4

Vamos para y 2 agora.

L y 2 = 4 s 3

Lembrando que

L t n = n ! s n + 1

Temos

L y 2 = 4 s 3 = 2 2 ! s 2 + 1

Então n = 2 e:

y 2 = 2 t 2

Passo 5

Vamos para y 3 agora.

L y 3 = s s 2 + 4

Lembrando que

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Temos, no nosso caso, onde a = 2

L y 3 = s s 2 + 4

y 3 = cos ⁡ ( 2 t )

Passo 6

Vamos para y 4 agora.

L y 4 = 1 s 2 + 4

De novo, lembrando que

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

L y 4 = 1 2 2 s 2 + 2 2

Temos, no nosso caso, onde a = 2

y 4 = sen ⁡ 2 t 2

Passo 7

Beleza, mas não podemos nos esquecer daquele e - s 16 multiplicando y 1 + y 2 + y 3 :

L y = e - s 8 L y 1 + L y 2 + L y 3 + L y 4

Isso quer dizer que as transformadas vão estar deslocadas, a as funções que achamos pra y 1 , y 2 e y 3 vão ser na verdade funções de t - 1 multiplicadas pela função degrau. Então:

L - 1 e - c s L f ( t ) = f t - c u c ( t )

y = L - 1 e - s L y 1 8 + L - 1 e - s L y 2 8 + L - 1 e - s L y 3 8 + L y 4

L - 1 e - s L y 1 8 = y 1 t - 1 u 1 t 8 = - u 1 t 8

L - 1 e - s L y 2 8 = y 2 t - 1 u 1 t 8 = 2 t - 1 2 u 1 t 8

L - 1 e - s L y 3 8 = y 3 t - 1 u 1 t 8 = cos ⁡ ( 2 t - 1 ) u 1 t 8

y 4 = sen ⁡ 2 t 2

Juntando tudo:

y = u 1 t 8 - 1 + 2 t - 1 2 + cos ⁡ ( 2 t - 1 ) + sen ⁡ 2 t 2

Resposta

a   y = u 1 t 8 - 1 + 2 t - 1 2 + cos ⁡ ( 2 t - 1 ) + sen ⁡ 2 t 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas