Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Calculo 3 – UNICAMP – Exame

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + y = 10 δ t - 4 ;                     y 0 = 3 ,     y ' 0 = 7

Passo 1

Vamos lá! Temos uma questão de PVI para ser resolvida através da Transformada de Laplace. E, para nossa alegria, a própria prova já nos fornece uma tabela com as transformadas!!!

Podem comemorar, que lembrar dessa tabela é a pior parte da questão!! Uhuu.

Agora, vamos começar aplicando a transformada de laplaca nos dois membros da nossa EDO. Portanto,

L y ' ' + y = L 10 δ t - 4

E como a transformada é uma aplicação linear, a gente pode separa o termo L y ' ' + y em L y ' ' + L y . Da mesma forma, podemos escrever tirar o número 10 do segundo membro de dentro da transformada. E com isto, temos:

L y ' ' + L y = 10 L δ t - 4

E essa é a primeira parte da questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é o momento de usarmos a tabela. Lembrando, temos que indicar todas as relações que utilizarmos com a numeração da tabela (a questão pediu, a gente faz!).

Então, primeiramente, vamos lembrar que y ' ' = f 2 t . Portanto, utilizando a propriedade 18, temos:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Agora, para L y , basta lembrarmos que y = f t . Portanto, pela propriedade 15, temos:

L y = Y s

Por fim só nos resta transformarmos o segundo membro. Portanto, pela propriedade 17, temos:

L δ t - 4 = e - 4 s

E assim, chegamos a seguinte equação:

L y ' ' + L y = 10 L δ t - 4

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + Y s = 10 e - 4 s

E como y 0 = 3 e y ' 0 = 7 , temos:

s 2 Y s - 3 s - 7 + Y s = 10 e - 4 s

s 2 + 1 Y s = 10 e - 4 s + 3 s + 7

Y s = 10 e - 4 s s 2 + 1 + 3 s s 2 + 1 + 7 s 2 + 1

Passo 3

Estamos quase finalizando a nossa questão! Para isto, temos que fazer um processo bem semelhante com o que fizemos no Passo 2.

Vamos começar aplicando a transformada inversa e separando os termos. Logo,

L - 1 Y s = L - 1 10 e - 4 s s 2 + 1 + 3 s s 2 + 1 + 7 s 2 + 1

L - 1 Y s = L - 1 10 e - 4 s s 2 + 1 + L - 1 3 s s 2 + 1 + L - 1 7 s 2 + 1

L - 1 Y s = 10 L - 1 e - 4 s s 2 + 1 + 3 L - 1 s s 2 + 1 + 7 L - 1 1 s 2 + 1

Agora, temos que calcular cada um deles a partir da tabela de transformadas (só que agora a gente vai observar no sentido inverso, de s para t ).

Sendo assim, vamos começar pelo mais fácil, por L - 1 Y s . Pela propriedade 15, temos:

L - 1 Y s = f t

Já no segundo membro, vamos ver da direita para esquerda, pois é a ordem mais fácil. Para L - 1 1 s 2 + 1 , basta aplicarmos a propriedade 5, quando a = 1 . Com isto, teremos:

L - 1 1 s 2 + 1 = sen ⁡ t

Agora, para L - 1 s s 2 + 1 , vamos utilizar a propriedade 6. Ao invés de seno, teremos cosseno agora! Portanto,

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ t

Por fim, temos L - 1 e - 4 s s 2 + 1 . Aqui é um pouco mais complicado, pois precisamos trabalhar com uma função degrau. Para funções deste tipo (propriedade 13), temos:

L u c t ⋅ f t - c = e - c s ⋅ L f t

Vamos comparar a nossa função que queremos a transformada inversa com o segundo membro da equação acima. Temos:

e - 4 s s 2 + 1 = e - c s ⋅ L f t

Comparando, temos e - c s = e - 4 s , logo, c = 4 e L f t = 1 s 2 + 1 .

Para L f t , pela propriedade 5, temos f t = sen ⁡ t . Desta forma, a função que aplicamos a transformada inversa será:

e - 4 s s 2 + 1 = e - 4 s ⋅ L sen ⁡ t = L u 4 t ⋅ sen ⁡ t - 4

E então,

L - 1 e - 4 s s 2 + 1 = L - 1 L u 4 t ⋅ sen ⁡ t - 4 = u 4 t ⋅ sen ⁡ t - 4

E a solução do nosso PVI será:

L - 1 Y s = 10 L - 1 e - 4 s s 2 + 1 + 3 L - 1 s s 2 + 1 + 7 L - 1 1 s 2 + 1

f t = 10 u 4 t ⋅ sen ⁡ t - 4 + 3 cos ⁡ t + 7 sen ⁡ t

Resposta

f t = 10 u 4 t ⋅ sen ⁡ t - 4 + 3 cos ⁡ t + 7 sen ⁡ t

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