Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y ' + 13 y = t δ π t + δ 3 π t ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

A solução dessa EDO pode ser encontrada por Laplace! Primeiro então apliquemos essa transformada em ambos os lados da equação, dessa forma aqui:

L y ' ' + 4 y ' + 13 y = L t δ π t + δ 3 π t             →

L y ' ' + L 4 y ' + L 13 y = L t δ π t + L δ 3 π t             →

L y ' ' + 4 L y ' + 13 L y = L t δ π t + L δ 3 π t

Agora vamos ver separada a solução de cada Laplace dessas. Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro quem é a solução da Laplace da segunda derivada? Não se lembra? É essa daqui, oh:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

A Laplace da primeira é bem semelhante, só que...

L y ' = s Y s - y 0

Ora, a Laplace de y é...

L y = Y s

Beleza! Mas vamos complicar um pouquinho mais?! Quem é a Laplace de uma função vezes t ? Ora, é menos a derivada da Laplace da função:

L t δ π t = - 1 ⋅ d d s L δ π t   →

Nesse caso a função é um Delta de Dirac (ou impulso para os mais íntimos )! A Laplace desse cara é será sempre uma exponencial, nesse caso:

L t δ π t = - 1 ⋅ d d s e - π s   →

Derivando então...

L t δ π t = - 1 ⋅ - π e - π s   →

L t δ π t = π e - π s

Agora fica mais fácil, pois para terminar, queremos a Laplace de outro delta:

L δ 3 π t = e - 3 π s

Sacou?

Passo 3

Substituindo cada uma dessas Laplaces...

L y ' ' + 4 L y ' + 13 L y = L t δ π t + L δ 3 π t             →

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 4 s Y s - y 0 + 13 Y s = π e - π s + e - 3 π s             →

Bem como substituindo também os valores iniciais ( y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0 ):

s 2 Y s - s + 4 s Y s - 1 + 13 Y s = π e - π s + e - 3 π s             →

s 2 Y s - s + 4 s Y s - 4 + 13 Y s = π e - π s + e - 3 π s             →

Passando pro outro lado os valores sem Y ...

s 2 Y s + 4 s Y s + 13 Y s = π e - π s + e - 3 π s + s + 4             →

s 2 + 4 s + 13 Y s = π e - π s + e - 3 π s + s + 4             →

E agora o Isolando no lado esquerdo...

Y s = π e - π s s 2 + 4 s + 13 + e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + s + 4 s 2 + 4 s + 13             →

O que precisamos fazer agora? Aplicar Laplace inverso em todo mundo e ver qual é a resposta no tempo, já que   L - 1 Y s = y t !

L - 1 Y s = L - 1 π e - π s s 2 + 4 s + 13 + e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + s + 4 s 2 + 4 s + 13   →

y t = π L - 1 e - π s s 2 + 4 s + 13 + L - 1 e - 3 π s s 2 + 4 s + 13 + L - 1 s + 4 s 2 + 4 s + 13

Para resolver cada uma dessas Laplaces inversas, devemos arrumar esse denominador por meio de completar quadrados, dessa forma aqui:

s 2 + 4 s + 13 = s - b 2 + a 2   →

s 2 + 4 s + 13 = s 2 - 2 b s + b 2 + a 2   →

- 2 b = 4   b 2 + a 2 = 13   →        

Resolvendo esse sisteminha...

b = - 2 a = 3

Então o denominador organizado desse jeito, podemos substituir...

s 2 + 4 s + 13 = s - b 2 + a 2 = s + 2 2 + 3 2

y t = π L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 + L - 1 e - 3 π s s + 2 2 + 3 2 + L - 1 s + 4 s + 2 2 + 3 2

E sem mais delongas devemos buscar quem é a Laplace dessa vez inversa de cada uma dessas parcelas! Partiu?... Novamente? Rsrs

Passo 4

Vamos primeiro ver quem é essa Laplace inversa aqui:

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2  

Sabemos que para termos como resposta um seno ali, precisamos colocar um 3 naquele nominador, e pra isso, como tudo nesse universo tem que ter um equilíbrio, devemos colocar fora da Laplace inversa um 1 / 3 para cortar com 3 que estamos colocando e manter a igualdade:

L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 = 1 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - π s =

Vamos fazer a mesma coisa com e - 2 π . Precisamos fazer isso para aparecer o mesmo s + 2 no expoente...

1 3 e - 2 π L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - π s ⋅ e - 2 π =

e 2 π 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - π s - π 2 =

e 2 π 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - π s + 2

Ora! O Laplace inverso da função em negrito é o seno de 3 t , mas multiplicada por e - 2 t , devido esse deslocamento de s em 2 unidades s - 2 :

e 2 π 3 sin ⁡ 3 t ⋅ e - 2 t ⋅ u π t =

Esse degrau aparece devido ao produto por e - π s + 2 !

Passo 5

De forma análoga, podemos calcular a outra Laplace inversa lá do passo 3:

L - 1 e - 3 π s s + 2 2 + 3 2 =

Só que agora vamos multiplicar e dividir por e - 6 π , para aparecer e - 3 π ( s + 2 ) ...

1 3 e - 6 π L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - 3 π s e - 6 π =

e 6 π 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - 3 π s - 6 π =

e 6 π 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 e - 3 π s + 2 =

Novamente temos então o seno de 3 t , vezes o exponencial devido a todo s aparecer s + 2 , e ainda temos o degrau devido ao e - 3 π s + 2 ...

e 6 π 3 sin ⁡ 3 t ⋅ e - 2 t ⋅ u 3 π t

Passo 6

Antes de somar tudo, falta mais uma inversa para se calcular:

L - 1 s + 4 s + 2 2 + 3 2 =

Podemos separa esse 4 em...

L - 1 s + 2 + 2 s + 2 2 + 3 2 =

L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 + L - 1 2 s + 2 2 + 3 2 =

Para aparecer um 3 ali, multiplica e divide por 3 ...

L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 3 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 =

Agora...

cos ⁡ 3 t e - 2 t + 2 3 sin ⁡ 3 t e - 2 t  

Passo 7

Finalmente podemos voltar para aqui:

L - 1 Y s = π L - 1 e - π s s + 2 2 + 3 2 + L - 1 e - 3 π s s + 2 2 + 3 2 + L - 1 s + 4 s + 2 2 + 3 2   →

E substituir tudo...

y t = π e - 2 t e 2 π 3 sin ⁡ 3 t ⋅ u π t + e - 2 t e 6 π 3 sin ⁡ 3 t ⋅ u 3 π t + cos ⁡ 3 t e - 2 t + 2 3 sin ⁡ 3 t e - 2 t   →

y t = cos ⁡ 3 t e - 2 t + 2 3 + π e 2 π 3 u π t + e 6 π 3 u 3 π t sin ⁡ 3 t e - 2 t

Resposta

y t = cos ⁡ 3 t e - 2 t + 2 3 + π e 2 π 3 u π t + e 6 π 3 u 3 π t sin ⁡ 3 t e - 2 t

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