Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Use a transformada de Laplace para encontrar a solução y do problema de valor inicial:

y ' ' + 2 y = - 2 δ ( t - 3 )

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

a )   y t = - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t - 3

b )   y t = - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t

c )   y t = - 2 u 2 t sen ⁡ 2 t - 3

d )     y t = - 2 u 2 t sen ⁡ 2 t - 2

Passo 1

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L y ' ' + 2 y ( s ) = L - 2 δ t - 3 s

L y ' ' s + 2 L y s = - 2 L δ t - 3 s

Temos o seguinte:

L δ t - 3 s = e - 3 s

Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 2 L y s = - 2 e - 3 s

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 0 e y ' 0 = 0 .

s 2 L y s + 2 L y s = - 2 e - 3 s

( s 2 + 2 ) L y s = - 2 e - 3 s

L y s = - 2 e - 3 s 2 s 2 + 2

Passo 3

Já conseguimos reconhecer uma transformada de seno naquela fração ali, não é?

Temos:

2 s 2 + 2 = L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Portanto

L y s = - 2 e - 3 s L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Passo 4

Certo, agora como temos uma exponencial “fora” de L , vamos aplicar a seguinte fórmula:

L u c t f t - c s = e - c s L f t ( s )

Para o nosso problema:

L - 2 u 3 t f t - 3 s = - 2 e - 3 s L sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Agora precisamos encontrar f t - 3 . Temos que:

f t = sen ⁡ ( 2 t )

f t - 3 = sen ⁡ 2 t - 3

Ou seja: L - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t - 3 s = e - 3 s L sen ⁡ 2 t s

Substituindo na expressão de L [ y ] , temos:

L y s = L - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t - 3 s

Portanto, podemos escrever:

y = - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t - 3

Resposta

y = - 2 u 3 t sen ⁡ 2 t - 3

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