Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Função Degrau, Integral de Convolução

Seja g : 0 , + ∞ → R a função definida por

g t = cos ⁡ 2 t s e 0 ≤ t < 2 π cos ⁡ 2 t + sen ⁡ t s e t ≥ 2 π

Resolva o seguinte problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g t y 0 = 0 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Para resolver isso vamos usar a transformada de Laplace, mas antes de qualquer coisa, aquela função f t

Vamos começar escrevendo essa função g t com funções degrau.

Repara que ela é cos ⁡ 2 t até t = 2 π , e depois ela vale cos ⁡ 2 t + sen ⁡ t , então vamos essa parte do seno vai aparecer só a partir de 2 π , isso quer fizer que

g t = cos ⁡ 2 t + u 2 π t sen ⁡ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora ele quer a solução dessa EDO. Vamos começar aplicando transformada de Laplace à equação. Temos que:

L y ' ' + 4 y = L g t

L y ' ' + 4 L y = L g t

Sabemos que

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' 0

Substituindo na equação vamos ter

s 2 L y s - s y 0 - y ' 0 + 4 L y s = L g t

Falta achar a transformada dessa nossa função g t

Passo 3

Agora precisamos agora achar a transformada de g t . A transformada que envolve a função degrau vai ser

L u c t f t - c = e - c s L f t

Então temos que para aquela função seno achar f t - c dela.

Nos temos

u 2 π t sen ⁡ t = u c t f t - c

Isso nos diz que

c = 2 π

E a nossa função f t vai ser achada somando 2 π , assim vamos ter

f t = sen ⁡ t + 2 π

A nossa função seno não muda se somarmos 2 π ao ângulo dentro dela, assim

f t = sen ⁡ t

Assim vamos ter

L u 2 π t sen ⁡ t = e - 2 π s L sen ⁡ t

E a transformada de g t vai ser

L g t = L cos ⁡ 2 t + e - 2 π s L sen ⁡ t

E ai está a transformada da nossa função g t

Ainda não trocamos as transformadas de cosseno e seno porque não quero que a conta cresça muito por enquanto, se precisarmos no final nós mudamos.

Passo 4

Vamos substituir o valor inicial, o valor da transformada de g t e isolar L y s

s 2 L y s + 4 L y s = L cos ⁡ 2 t + e - 2 π s L sen ⁡ t

s 2 + 4 L y s = L cos ⁡ 2 t + e - 2 π s L sen ⁡ t

L y s = L cos ⁡ 2 t 1 s 2 + 4 + e - 2 π s L sen ⁡ t 1 s 2 + 4

Para resolver essas transformadas inversas vamos usar Convolução, isso porque sabemos que

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Assim, com a = 2 temos

L sen ⁡ 2 t = 2 s 2 + 2 2

Que é quase o que temos ali, temos que dar uma arrumadinha, vamos dividir geral por 2 .

L y s = 1 2 L cos ⁡ 2 t 2 s 2 + 4 + 1 2 e - 2 π s L sen ⁡ t 2 s 2 + 4

Assim

L y s = 1 2 L cos ⁡ 2 t L sen ⁡ 2 t + 1 2 e - 2 π s L sen ⁡ t L sen ⁡ 2 t

Temos 3 coisas para fazer aqui, duas convoluções, e depois aquele exponencial se arruma com a transformada da função degrau, mas calma vamos começar com as convoluções, vamos fazer

L y s = 1 2 L h 1 t + 1 2 e - 2 π s L h 2 t

Onde

L h 1 t = L cos ⁡ 2 t L sen ⁡ 2 t

E

L h 2 t = L sen ⁡ t L sen ⁡ 2 t

Vamos fazer uma coisa de cada vez.

Passo 5

Usando convolução para h 1 , temos

h 1 t = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ sen ⁡ 2 t - τ d τ

h 1 t = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ sen ⁡ 2 t - 2 τ d τ

Vamos lembrar de uma propriedade do produto de seno e cosseno, que é

cos ⁡ a sen ⁡ b = sen ⁡ a + b 2 - sen ⁡ a - b 2

Assim vamos ter

cos ⁡ 2 τ sen ⁡ 2 t - 2 τ = sen ⁡ 2 τ + 2 t - 2 τ 2 - sen ⁡ 2 τ - 2 t - 2 τ 2 =

= sen ⁡ 2 t 2 - sen ⁡ 2 τ - 2 t + 2 τ 2 = sen ⁡ 2 t 2 - sen ⁡ 4 τ - 2 t 2

Voltando para nossa integral

h 1 t = ∫ 0 t sen ⁡ 2 t 2 - sen ⁡ 4 τ - 2 t 2 d τ

Assim vamos ter

h 1 t = sen ⁡ 2 t 2 τ + cos ⁡ 4 τ - 2 t 8 0 t

h 1 t = sen ⁡ 2 t 2 t + cos ⁡ 4 t - 2 t 8 - sen ⁡ 2 t 2 0 + cos ⁡ 4.0 - 2 t 8

h 1 t = sen ⁡ 2 t 2 t + cos ⁡ 2 t 8 - cos ⁡ - 2 t 8

Lembrando que

cos ⁡ - a = cos ⁡ a

Então

h 1 t = sen ⁡ 2 t 2 t + cos ⁡ 2 t 8 - cos ⁡ 2 t 8

h 1 t = sen ⁡ 2 t 2 t

Passo 6

Usando convolução para h 2 , temos

h 2 t = ∫ 0 t sen ⁡ 2 τ sen ⁡ t - τ d τ

Vamos lembrar de uma propriedade do produto de seno e sen, que é

sen ⁡ a sen ⁡ b = cos ⁡ a - b 2 - cos ⁡ a + b 2

Assim vamos ter

sen ⁡ 2 τ sen ⁡ t - τ = cos ⁡ 2 τ - t - τ 2 - cos ⁡ 2 τ + t - τ 2 =

= cos ⁡ 2 τ - t + τ 2 - cos ⁡ t + τ 2 = cos ⁡ 3 τ - t 2 - cos ⁡ t + τ 2

Voltando para nossa integral

h 2 t = ∫ 0 t cos ⁡ 3 τ - t 2 - cos ⁡ t + τ 2 d τ

h 2 t = sen ⁡ 3 τ - t 6 - sen ⁡ t + τ 2 0 t

h 2 t = sen ⁡ 3 t - t 6 - sen ⁡ t + t 2 - sen ⁡ 3.0 - t 6 - sen ⁡ t + 0 2

h 2 t = sen ⁡ 2 t 6 - sen ⁡ 2 t 2 - sen ⁡ - t 6 - sen ⁡ t 2

Lembrando que

sen ⁡ - a = - sen ⁡ a

Então

h 2 t = sen ⁡ 2 t 6 - sen ⁡ 2 t 2 - - sen ⁡ t 6 - sen ⁡ t 2

h 2 t = - sen ⁡ 2 t 3 - - 2 sen ⁡ t 3

h 2 t = - sen ⁡ 2 t 3 + 2 sen ⁡ t 3

Passo 7

Agora que temos h 1 e h 2 vamos voltar para y

L y s = 1 2 L h 1 t + 1 2 e - 2 π s L h 2 t

Primeiro vamos lembrar que

L u c t f t - c = e - c s L f t

Assim vamos ter

L y s = 1 2 L h 1 t + 1 2 L u 2 π t h 2 t - 2 π

y t = h 1 t 2 + u 2 π t h 2 t - 2 π 2

E vamos ter

y t = t sen ⁡ 2 t 4 - u 2 π t sen ⁡ 2 t - 2 π 6 + 2 u 2 π t sen ⁡ t - 2 π 6

y t = t sen ⁡ 2 t 4 - u 2 π t sen ⁡ 2 t - 4 π 6 + u 2 π t sen ⁡ t - 2 π 3

Somar ou subtrair 2 π ou qualquer múltiplo inteiro dele não muda o seno, então

y t = t sen ⁡ 2 t 4 - u 2 π t sen ⁡ 2 t 6 + u 2 π t sen ⁡ t 3

Resposta

y t = t sen ⁡ 2 t 4 - u 2 π t sen ⁡ 2 t 6 + u 2 π t sen ⁡ t 3

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