Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y = x ,   0 ≤ x < 1 , 0 ,   1 ≤ x < ∞ ,

y 0 = y ' 0 = 0

Passo 1

Ok, podemos melhorar a cara do problema. Escrevemos como:

y ' ' + 4 y = f x

Em que:

f x = x ,   0 ≤ x < 1 , 0 ,   1 ≤ x < ∞ ,

Agora ficou um pouco melhor. Como temos uma função definida em partes, podemos representa-la por meio de funções degrau.

Veja que a função vale x até x = 1 , onde passa a valer zero. Então temos um degrau multiplicado pela função a subtraindo aí

f x = x - x u 1 x

Como vamos usar transformada, é melhor escrever isso na forma: g x - 1 u 1 x

Para ficar bonitinho na hora de aplicar a transformada. Para isso: x - x u 1 x + u 1 x - u 1 x

x - x - 1 u 1 x - u 1 x

OK. Tá melhor. Assim, vamos ter: y ' ' + 4 y = x - x - 1 u 1 x - u 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E podemos agora aplicar a transformada. Aplicando e usando as propriedades:

L y ' ' + 4 y = L x - x - 1 u 1 x - u 1 x

L y ' ' + 4 L y = L x - L x - 1 u 1 x - L u 1 x

Vamos olhar transformada por transformada. Primeiro, para ficar bonitinho, chamamos: L y = Y s

Show, agora, pela transformada das derivadas: L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Aplicando as condições: L y ' ' = s 2 Y s

Show. Agora, por tabela:

L t m = m ! s m + 1

Assim, para m = 1 :

L x = 1 s 2

Além disso, pela a transformada do degrau: L x - 1 u 1 x = e - s ⋅ 1 s 2 = e - s s 2

L u 1 x = e - s ⋅ 1 s = e - s s

Então, substituímos tudo na equação:

L y ' ' + 4 L y = L x - L x - 1 u 1 x - L u 1 x

s 2 Y s + 4 Y s = 1 s 2 - e - s s 2 - e - s s

Passo 3

OK, vamos agora isolar Y s :

Y s s 2 + 4 = 1 s 2 - e - s s 2 - e - s s

Y s = 1 s 2 s 2 + 4 - e - s s 2 s 2 + 4 - e - s s s 2 + 4

Agora precisamos escrever Y s de um jeito mais simples para encontrar a transformada inversa que dará a solução do problema. Para isso, vamos tentar separar essas frações usando frações parciais. Começamos com:

1 s s 2 + 4 = A s + B s + C s 2 + 4

Juntando novamente:

A s 2 + 4 + B s + C s s s 2 + 4 = A s 2 + 4 A + B s 2 + C s s s 2 + 4

Juntamos os termos de mesmo grau:

A + B s 2 + C s + 4 A s s 2 + 4 = 1 s s 2 + 4

O único jeito da igualdade ser verdadeira é se os coeficientes nos numeradores forem iguais. Para isso, montamos o sistema comparando cada um:

A + B = 0 C = 0 4 A = 1

Pela última: A = 1 4

Substituindo na primeira:

B = - 1 4

Assim, vamos ter: 1 s s 2 + 4 = A s + B s + C s 2 + 4

= 1 4 ⋅ 1 s - 1 4 ⋅ s s 2 + 4

E de cara vai aparecer:

1 s 2 s 2 + 4 = 1 s 1 s s 2 + 4

= 1 4 ⋅ 1 s 2 - 1 4 ⋅ 1 s 2 + 4

Show! Agora substituímos na nossa equação: Y s = 1 s 2 s 2 + 4 - e - s s 2 s 2 + 4 - e - s s s 2 + 4

Y s = 1 4 ⋅ 1 s 2 - 1 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ e - s s 2 - e - s s 2 + 4 - 1 4 e - s s - s e - s s 2 + 4

Passo 4

Com a transformada numa forma mais palatável, vamos achar as inversas. Aplicando:

L - 1 Y s = y x

= 1 4 ⋅ L - 1 1 s 2 - L - 1 1 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ L - 1 e - s s 2 - L - 1 e - s s 2 + 4

- 1 4 L - 1 e - s s - L - 1 s e - s s 2 + 4

Temos, por tabela que:

L t m = m ! s m + 1

Então, para m = 1 :

L x = 1 s 2 ⟹ L - 1 1 s 2 = x

Seguindo a mesma lógica, vamos ter:

L sen ⁡ 2 x = 2 s 2 + 2 2 ⟹ L - 1 1 s 2 + 4 = 1 2 sen ⁡ 2 x

Para a exponencial, teremos a função que sai da transformada deslocada e multiplicada por um degrau:

L - 1 e - a s F s = f x - a u a x

Assim: L - 1 e - s s 2 = x - 1 u 1 x

L - 1 e - s s 2 + 4 = 1 2 sen ⁡ 2 x - 1 u 1 x

L - 1 e - s s = u 1 x

L - 1 s e - s s 2 + 4 = cos ⁡ 2 x - 1 u 1 x

Substituindo isso na equação: y x = 1 4 ⋅ x - 1 2 sen ⁡ 2 x - 1 4 ⋅ x - 1 u 1 x - 1 2 sen ⁡ 2 x - 1 u 1 x

- 1 4 u 1 x - cos ⁡ 2 x - 1 u 1 x

E é essa violência aí mesmo haha.

Resposta

y x = 1 4 ⋅ x - 1 2 sen ⁡ 2 x - 1 4 ⋅ x - 1 u 1 x - 1 2 sen ⁡ 2 x - 1 u 1 x

- 1 4 u 1 x - cos ⁡ 2 x - 1 u 1 x

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