Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Calculo 3 – UNICAMP – Exame

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 4 y ' + 13 y = δ t - 10 ;                     y 0 = 2 ,     y ' 0 = 2

Passo 1

Vamos lá! Temos uma questão de PVI para ser resolvida através da Transformada de Laplace. E, para nossa alegria, a própria prova já nos fornece uma tabela com as transformadas!!!

Podem comemorar, que lembrar dessa tabela é a pior parte da questão!! Uhuu.

Agora, vamos começar aplicando a transformada de laplaca nos dois membros da nossa EDO. Portanto,

L y ' ' + 4 y ' + 13 y = L δ t - 10

E como a transformada é uma aplicação linear, a gente pode separa o termo L y ' ' + 4 y ' + 13 y em L y ' ' + L 4 y ' + L 13 y . Depois, podemos colocar os coeficientes que multiplicam para fora da nossa transformada.

Sendo assim, temos:

L y ' ' + L 4 y ' + L 13 y = L δ t - 10

L y ' ' + 4 L y ' + 13 L y = L δ t - 10

E essa é a primeira parte da questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é o momento de usarmos a tabela. Lembrando, temos que indicar todas as relações que utilizarmos com a numeração da tabela (a questão pediu, a gente faz!).

Então, primeiramente, vamos lembrar que y ' ' = f 2 t . Portanto, utilizando a propriedade 18, temos:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Já para L y ' , temos y ' = f 1 t . Também pela propriedade 18, temos:

L y ' = s Y s - y 0

Agora, para L y , basta lembrarmos que y = f t . Portanto, pela propriedade 15, temos:

L y = Y s

Por fim só nos resta transformarmos o segundo membro. Portanto, pela propriedade 17, temos:

L δ t - 10 = e - 10 s

E assim, chegamos a seguinte equação:

L y ' ' + 4 L y ' + 13 L y = L δ t - 10

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 4 s Y s - y 0 + 13 Y s = e - 10 s

E como y 0 = 2 e y ' 0 = 2 , temos:

s 2 Y s - 2 s - 2 + 4 s Y s - 2 + 13 Y s = e - 10 s

s 2 + 4 s + 13 Y s - 2 s - 10 = e - 10 s

Y s = e - 10 s s 2 + 4 s + 13 + 2 s + 10 s 2 + 4 s + 13

Passo 3

Antes de podermos aplicar as transformadas inversas, nas nossas funções, vamos dar uma reorganizada nelas. A começar pelo denominador das funções. Assim, temos:

s 2 + 4 s + 13 = s 2 + 4 s + 4 + 9

s 2 + 4 s + 13 = s + 2 2 + 3 2

Portanto,

Y s = e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 s + 10 s + 2 2 + 3 2

Reorganizando mais um pouco o numerador do termo 2 s + 10 s + 2 2 + 3 2 (isso é fundamental para que a gente consiga utilizar as propriedades 9 e 10 da tabela!!!!), teremos:

Y s = e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 s + 2 + 6 s + 2 2 + 3 2

Y s = e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 6 s + 2 2 + 3 2

Y s = e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2

Agora, temos que fazer um processo bem semelhante com o que fizemos no Passo 2. Precisamos fazer a transformada inversa de Laplace.

Então, Vamos começar aplicando a transformada inversa e separando os termos. Logo,

L - 1 Y s = L - 1 e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2

L - 1 Y s = L - 1 e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + L - 1 2 ⋅ s + 2 s + 2 2 + 3 2 + L - 1 2 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2

L - 1 Y s = L - 1 e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2

Passo 4

Estamos quase finalizando a nossa questão! Só precisamos agora aplicar relacionar as nossas inversas com a nossa tabela de transformadas.

Sendo assim, vamos começar pelo mais fácil, por L - 1 Y s . Pela propriedade 15, temos:

L - 1 Y s = f t

Já no segundo membro, vamos ver da direita para esquerda. Para L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 , basta aplicarmos a propriedade 9, quando a = - 2 e b = 3 . Com isto, teremos:

L - 1 3 s + 2 2 + 3 2 = e - 2 t sen ⁡ 3 t

Agora, para L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 , vamos utilizar a propriedade 10, também com a = - 2 e b = 3 . Só que, agora, ao invés de seno, teremos cosseno agora! Portanto,

L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 = e - 2 t cos ⁡ 3 t

Por fim, temos L - 1 e - 10 s s + 2 2 + 3 2 . Aqui é um pouco mais complicado, pois precisamos trabalhar com uma função degrau. Para funções deste tipo (propriedade 13), temos:

L u c t ⋅ f t - c = e - c s ⋅ L f t

Vamos comparar a nossa função que queremos a transformada inversa com o segundo membro da equação acima. Temos:

e - 10 s s + 2 2 + 3 2 = e - c s ⋅ L f t

Comparando, temos e - c s = e - 10 s , logo, c = 10 e L f t = 1 s + 2 2 + 3 2 = 1 3 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2 .

Para L f t , pela propriedade 9, que aplicamos anteriormente, temos:

f t = L - 1 1 3 ⋅ 3 s + 2 2 + 3 2 = 1 3 ⋅ e - 2 t sen ⁡ 3 t

Desta forma, a função que aplicamos a transformada inversa será:

e - 10 s s + 2 2 + 3 2 = e - 10 s ⋅ L 1 3 ⋅ e - 2 t sen ⁡ 3 t = L u 10 t ⋅ 1 3 e - t - 10 sen ⁡ 3 t - 10

E então,

L - 1 e - 2 s s + 1 2 + 2 2 = L - 1 L u 10 t ⋅ 1 3 e - t - 10 sen ⁡ 3 t - 10 = u 10 t ⋅ 1 3 e - t - 10 sen ⁡ 3 t - 10

E a solução do nosso PVI será:

L - 1 Y s = L - 1 e - 10 s s + 2 2 + 3 2 + 2 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 + 2 L - 1 3 s + 2 2 + 3 2

f t = u 10 t ⋅ 1 3 e - t - 10 sen ⁡ 3 t - 10 + 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t + 2 e - 2 t sen ⁡ 3 t

Resposta

f t = u 10 t ⋅ 1 3 e - t - 10 sen ⁡ 3 t - 10 + 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t + 2 e - 2 t sen ⁡ 3 t

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