Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Resolva pelo método de Laplace o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

y "   +   y   = 0 ,     0 < t < 5 1 ,     t > 5

Passo 1

Você percebeu que a nossa EDO é igual a uma função degrau?! Vamos reescrevê-la, então...

y "   +   y   =   5 u ( t - 1 )

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

Lembrando que:

L   ( y " )   =   s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

L y ' = s F s - y ( 0 )

L   u a t =   e - a s s

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

- y ' 0 - s y 0 + s 2   F s + F s = s 2   F s + F s =   e - 5 s s

Arrumando melhor   ...

F s =   e - 5 s s ( s 2   + 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   e - 5 s s ( s 2   + 1 )

Decompondo esta outra em frações parciais...

  1 s ( s 2 + 1 ) =   A s +   B s + C ( s 2 + 1 ) = 1 s +   - s ( s 2 + 1 )  

Então, nosso monstrinho fica com uma cara mais parecida com as transformadas que conhecemos.

  F s = e - 5 s 1 s +   - s ( s 2 + 1 )

Passo 3

Estamos prontos para encontrar as transformadas inversas!

Usando: L - 1   e - a s f s =   u a t f ( t - a ) , L c o s ⁡ ( a t ) = s s 2 +   a 2 e L   e - a s s =   u a t

L - 1   [ e - 5 s 1 s ] = u ( t - 5 )

L - 1   [ e - 5 s   s ( s 2 + 1 ) ] = cos ⁡ t - 5 u ( t - 5 )

Juntando todos esses resultados

y t = L - 1 F s = u t - 5 - cos ⁡ t - 5 u ( t - 5 )  

Resposta

y t = u t - 5 - cos ⁡ t - 5 u ( t - 5 )  

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