Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

y "   + y   =   δ ( t )

Onde δ é a função delta de Dirac. Obtenha soluções usando transformadas de Laplace.

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

Lembrando que:

L   ( y " )   =   s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

L y ' = s F s - y ( 0 )  

  L δ ( t )   =   1

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

- y ' 0 - s y 0 + s 2   F s + F s = s 2   F s + F s =   1

Arrumando melhor   ...

F s =   1 s 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   1 s 2 + 1  

Esta aqui já está do jeito que gostamos.

Passo 3

Estamos prontos para encontrar as transformadas inversas!

Usando: L s e n   a t     =   a s 2 +   a 2 .

y t = L - 1 F s = s e n t

Resposta

y t = s e n t

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