Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Integral de Convolução

( b ) Seja F s = L { t 5 g ( t ) } (a transformada de Laplace da função h t = t 5 g ( t ) ) onde

g t = 0 ,     s e   0 ≤ t < π cos ⁡ t ,     s e   t ≥ π

Mostre que

F s = d 5 d s 5 s e - π s s 2 + 1

(Não precisa calcular essa derivada. Note que cos ⁡ t = - cos ⁡ t - π . )

( c ) Calcule a solução do PVI

- 2 y ' + y = g ( t ) y 0 = 0

Em termos de uma convolução, onde g ( t ) é a função definida no item ( b ) .

Sugestão: não calcule L { g } . Faça as contas escrevendo G = L { g } .

Passo 1

b   Vamos começar pela seguinte propriedade:

L t g t = - G ' ( s )

Então se aplicarmos ela duas vezes, temos:

L t 2 g t = - 1 2 G ' ' ( s )

L t 2 g t = G ' ' ( s )

E cinco vezes:

L t 5 g t = - 1 5 G ( 5 ) ( s )

L t 5 g t = - G 5 s = - d 5 d s 5 G ( s )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E agora? Bom, agora vamos olhar pro g ( t ) ...

g t = 0 ,     s e   0 ≤ t < π cos ⁡ t ,     s e   t ≥ π

A função g começa em t = π (antes disso, é tudo zero). Mas cos ⁡ π = - 1 e g começa a crescer imediatamente após t = π .

Podemos escrever assim: g t = u π cos ⁡ t . Mas olhe que o cosseno dá pra ser escrito como cos ⁡ t = - cos ⁡ t - π (olha a dica!). Então, temos:

g t = - u π c o s ⁡ ( t - π )

Passo 3

Bom, se a transformada de Laplace do cosseno é

L u 0  cos ⁡ t = s s 2 + 1

Lembre-se que

L x ( t - t 0 ) = e - s t 0 X ( s )  

Então, aplicando a propriedade acima(atenção para o sinal de menos!), temos

L u π  cos ⁡ ( t - π ) = s e - π s s 2 + 1

G s = L g ( t ) = L - u π  cos ⁡ ( t - π ) = - s e - π s s 2 + 1

Passo 4

Combinando com o resultado do passo 1:

L t 5 g t = - d 5 d s 5 G ( s )

L t 5 g t = - d 5 d s 5 - s e - π s s 2 + 1

L t 5 g t = d 5 d s 5 s e - π s s 2 + 1

Passo 5

( c )   Bom, vamos seguir a sugestão e aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial.

- 2 y ' + y = g t

L { - 2 y ' + y } = L { g ( t ) }

Por linearidade:

- 2 L y ' + L { y } = G

Passo 6

Lembre-se que se Y s = L { y } , então

L y ' = s Y s - y ( 0 )

Como y 0 = 0 é uma condição inicial, nos resta L y ' = s Y s .

Passo 7

De volta à equação:

- 2 L y ' + L { y } = G

- 2 s Y ( s ) + Y ( s ) = G

Y s ( - 2 s + 1 ) = G

Y s = G - 2 s + 1

Y s = - 1 2 1 s - 1 2 G

Passo 8

Agora, basta aplicarmos a transformada inversa:

L - 1 Y s = L - 1 - 1 2 1 s - 1 2 G

Pela propriedade da convolução no tempo, L - 1 A s B ( s ) = a t * b ( t ) . Então:

L - 1 Y s = - 1 2 L - 1 1 s - 1 2 * L - 1 G

y t = - 1 2 e 1 2 t * g ( t )

Passo 9

Da definição de convolução, temos:

y t = - 1 2 ∫   0 t   e ( t - τ ) / 2     g τ d τ

ou

y t = 0 ,     0 ≤ t ≤ π - 1 2 ∫ π t e t - τ 2   g τ d τ ,   t > π

Resposta

b   L t 5 g t = d 5 d s 5 s e - π s s 2 + 1

c   y t = 0 ,     0 ≤ t ≤ π - 1 2 ∫ π t e t - τ 2   g τ d τ ,   t > π

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