Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Consideramos uma mola elástica fixada por uma de suas extremidades e que possa vibrar na vertical. Suponhamos que um corpo de massa m = 1 quilograma esteja preso à extremidade inferior da mola, que a constante elástica da mola seja k = 1 e que no instante t = 0 o sistema esteja submetido a uma força periódica f t = s e n ( 2 t ) . No instante t = 1 , o sistema massa-mola recebe por baixo um golpe brusco que comunida instantaneamente 5 unidades de momento ao sistema. Usando a segunda lei de Newton e o eixo y convenientemente posicionado, somos levados à seguinte equação do movimento y ( t )

d 2 y d t 2 + y = s e n 2 t + 5 δ ( t - 1 )

Supondo as condições iniciais y 0 = y ' 0 = 0 , determine o movimento do sistema.

Passo 1

Vamos reescrever essa EDO dessa forma aqui:

y ' ' + y = s e n 2 t + 5 δ ( t - 1 )

Agora vamos aplicar Laplace a essa equação, ok?

L y ' ' + y ( s ) = L [ s e n 2 t + 5 δ ( t - 1 ) ] ( s )

L y ' ' s + L y s = L s e n 2 t s + 5 L δ t - 1 ( s )

Sabemos, pela tabela, que

L s e n 2 t s = 2 s 2 + 4

L δ t - 1 s = e - s

Então, temos:

L y ' ' s + L y s = 2 s 2 + 4 + 5 e - s

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + L y s = 2 s 2 + 4 + 5 e - s

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s )

Como y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 , temos:

s 2 L y s + L y s = 2 s 2 + 4 + 5 e - s

Agora, vamos isolar o valor de L y s

s 2 + 1 L y s = 2 s 2 + 4 + 5 e - s

L y s = 2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1 + 5 e - s s 2 + 1

Vamos separar essa função em duas partes para ficar melhor de entender

y = y 1 + y 2

Assim

L y s = L y 1 s + L y 2 s

Com cada transformada sendo

L y 1 s = 2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1

L y 2 s = 5 e - s s 2 + 1

Passo 3

Para resolver isso, temos que fazer o Laplace de cada parcela dessa soma.

Começando com y 1

L y 1 s = 2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1

Vamos decompor essa fração a em frações parciais.

  1. Fatorar o denominador
  2. Como não temos como fatorar os termos ( s 2 + 4 ) e ( s 2 + 1 ) , pois eles são irredutíveis, não tem jeito! Nossas frações parciais terão esses mesmos termos no denominador.

  3. Igualar a fração à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Veja:
  4. 2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1 = a s + b s 2 + 4 + c s + d s 2 + 1

    O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em ( s 2 + 4 ) , o numerador dessa fração deve ser a s + b (grau 1). O mesmo ocorre para a outra fração!

  5. Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
  6. 2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1 = a s + b s 2 + 1 + ( c s + d ) ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 4 ) s 2 + 1

    2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1 = a s 3 + a s + b s 2 + b + c s 3 + 4 c s + d s 2 + 4 d ( s 2 + 4 ) s 2 + 1

  7. Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais.
  8. Vamos juntar os termos pelos graus de s .

    2 ( s 2 + 4 ) s 2 + 1 = a + c s 3 + b + d s 2 + a + 4 c s + ( b + 4 d ) ( s 2 + 4 ) s 2 + 1

    Como o denominador já é o mesmo, temos

    2 = a + c s 3 + b + d s 2 + a + 4 c s + b + 4 d

    Calma, essa expressão é enorme mesmo, vamos por partes! Vamos igualar cada coeficiente das potências de s na esquerda e na direita. Como assim? Olha só:

    a + c = 0     →       a = - c b + d = 0     →       b = - d a + 4 c = 0     →       a = - 4 c   b + 4 d = 2                                                        

    Passo

    Vamos resolver esse sisteminha

    a + c = 0     →       a = - c b + d = 0     →       b = - d a + 4 c = 0     →       a = - 4 c   b + 4 d = 2                                                        

    Temos

    - c = - 4 c       →       c = 0

    a = 0

    - d + 4 d = 2     →     d = 2 / 3

    b = - 2 / 3

    Passo

  9. Agora que já temos os coeficientes basta reescrever as frações que criamos.

L y 1 s = - 2 / 3 s 2 + 4 + 2 / 3 s 2 + 1

Passo 4

Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Calma, já está acabando!

Vamos colocar em evidência o coeficiente do numerador.

- 2 3 1 s 2 + 4 + 2 3 1 s 2 + 1

Bom, como temos s 2 no denominador, já pensamos logo em senos e cossenos. Temos o seguinte:

L s e n a t s = a s 2 + a 2

Então, temos o seguinte:

- 2 3 1 s 2 + 4 ⏟ 1 2 L [ s e n 2 t ] + 2 3 1 s 2 + 1 ⏟ L [ s e n t ]

Assim, vamos ter

L y 1 s = - 1 3 L s e n 2 t + 2 3 L s e n t

Juntando isso tudo

L y s = L - 1 3 s e n 2 t + 2 3 s e n t s

Isso nos diz que

y 1 t = - 1 3 s e n 2 t + 2 3 s e n t

Passo 5

Vamos para L y 2 s

L y 2 s = 5 e - s s 2 + 1

Sobrou só essa exponencial, não é? Vamos usar a seguinte fórmula:

L u c f t - c s = e - c s L f t ( s )

Comparando, vamos ver que

c = 1

Aplicando ao problema, vamos ter:

L u 1 f t - 1 s = e - s L f t s

Além disso,

L y 2 s = 5 e - s s 2 + 1 = L u 1 t f t - 1 s = e - s L f t s

Temos que achar aquela f t agora

Passo 6

Temos

e - s L f t s = e - s 5 s 2 + 1

Isso nos diz que

L f t s = 5 s 2 + 1

Lembrando que

L s e n a t s = a s 2 + a 2

Vamos ter

L f t s = 5 s 2 + 1 = 5 L sen ⁡ t = L 5 sen ⁡ t

Isso nos diz que

f t = 5 sen ⁡ t

Passo 7

Ufa, achamos a f t , mas e agora? Vamos jogar na fórmula

L y 2 s = 5 e - s s 2 + 1 = L u 1 t f t - 1 s = e - s L f t s

Então

L y 2 s = L u 1 t f t - 1 s

Como

f t = s e n t     →         f t - 1 = s e n ( t - 1 )

Logo:

L y 2 s = L u 1 t sen ⁡ t - 1 s

Assim

y 2 = u 1 t sen ⁡ t - 1

Passo 8

Agora, vamos ter

y = y 1 + y 2

y t = - 1 3 s e n 2 t + 2 3 s e n t ⏟ y 1 t + u 1 t sen ⁡ t - 1 ⏟ y 2 t

Pronto, agora podemos dizer que y é exatamente

y t = - 1 3 s e n 2 t + 2 3 s e n ( t ) + 5 u 1 s e n ( t - 1 )

Resposta

y t = - 1 3 s e n 2 t + 2 3 s e n ( t ) + 5 u 1 s e n ( t - 1 )

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