Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

Ver Teoria

Enunciado

  1. Escreva g t utilizando funções degrau e calcule a sua transforma de Laplace, L g t
  2. g t = 0 0 ≤ t < 1 1 - t 1 ≤ t < 2 - 1 2 ≤ t

  3. Encontre a solução y t da seguinte p.v.i. utilizando o método de transformadas de Laplace:

y ' ' + 4 y = g t

Onde y 0 = 0 e y ' 0 = 0 e g t é dada no item a

Passo 1

Vamos começar escrevendo essa função g t com funções degrau.

Repara que ela é 0 até t = 1 , e depois ela vale 1 - t , então vamos começar montando a equação como uma função degrau que começa em t = 1 vezes 1 - t , assim vamos ter

g t = u 1 t 1 - t

Mas isso não mostra a função toda, depois do 2 essa função passa a ser - 1 , ou seja, a função g t na verdade é

g t = u 1 t 1 - t + u 2 t f t

Cabe a nós descobrir essa f t repara que a partir do 2 temos, para esse cara que escrevemos

g t = 1 - t + f t

Mas sabemos também que

g t = - 1

Então

- 1 = 1 - t + f t

E

f t = t - 2

E a nossa função g t vai ficar

g t = u 1 t 1 - t + u 2 t t - 2

Passo 2

Agora precisamos agora achar a transformada de g t . A transformada que envolve a função degrau vai ser

L u c t f t - c = e - c s L f t

Então temos que para cada uma daquelas funções achar f t - c dela.

Vamos começar com

u 1 t 1 - t

Vamos ter, nesse caso

f 1 t - 1 = 1 - t

Se somarmos 1 em cada t vamos ter

f 1 t = 1 - t + 1

f 1 t = 1 - t - 1

f 1 t = - t

Temos

L u 1 t 1 - t = e - s L - t

Assim, sabendo que

L - t = - 1 s 2

Temos

L u 1 t 1 - t = - e - s s 2

Passo 3

Vamos agora para

u 2 t t - 2

Vamos ter, nesse caso

f 2 t - 2 = t - 2

Se somarmos 2 em cada t vamos ter

f 2 t = t + 2 - 2

f 2 t = t

Temos

L u 2 t t - 2 = e - 2 s L t

Assim, sabendo que

L t = 1 s 2

Temos

L u 2 t t - 2 = e - 2 s s 2

Passo 4

Agora que achamos as transformadas dos pedaços da g t vamos fazer

L g t = L u 1 t 1 - t + u 2 t t - 2

L g t = L u 1 t 1 - t + L u 2 t t - 2

Então

L g t = - e - s s 2 + e - 2 s s 2

E ai está a transformada da nossa função g t

Passo 5

Agora ele quer a solução dessa EDO. Vamos começar aplicando transformada de Laplace à equação. Temos que:

L y ' ' + 4 y = L g t

L y ' ' + 4 L y = L g t

Sabemos que

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' 0

Substituindo na equação vamos ter

s 2 L y s - s y 0 - y ' 0 + 4 L y s = L g t

Passo 6

Vamos substituir o valor inicial, o valor da transformada de g t e isolar L y s

s 2 L y s + 4 L y s = - e - s s 2 + e - 2 s s 2

L y s s 2 + 4 = - e - s s 2 + e - 2 s s 2

L y s = - e - s s 2 + e - 2 s s 2 s 2 + 4

L y s = - e - s s 2 s 2 + 4 + e - 2 s s 2 s 2 + 4

Para resolver essas transformadas inversas vamos usar Convolução, isso porque sabemos que

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Assim, com a = 2 temos

L sen ⁡ 2 t = 2 s 2 + 2 2

Que é quase o que temos ali, temos que dar uma arrumadinha.

L y s = - 1 2 e - s ∙ 2 s 2 s 2 + 4 + 1 2 e - 2 s ∙ 2 s 2 s 2 + 4

Assim sabemos a transformada inversa da parte sem s 2 + 4 que são aquelas duas que calculamos ali em cima, e a transformada inversa da parte com s 2 + 4

Passo 7

Vamos dar uma arrumada nessa transformada antes de usarmos Convolução

L y s = 1 2 - e - s ∙ 2 s 2 s 2 + 4 + e - 2 s ∙ 2 s 2 s 2 + 4

Lembrando que

L u c t f t - c = e - c s L f t

Assim na verdade só precisamos fazer a transformada inversa dos caras que multiplicam os exponenciais. Repara que é um só, mesmo tendo duas exponenciais.

Assim vamos fazer

L y s = 1 2 - e - s L h t s + e - 2 s L h t s

Onde

L h t s = 1 s 2 2 s 2 + 4

Lembrando que

L sen ⁡ 2 t = 2 s 2 + 4

E

L t = 1 s 2

Assim vamos ter

L h t s = L t ∙ L sen ⁡ 2 t

E podemos agora usar convolução, vamos ter

h t = ∫ 0 t sen ⁡ 2 τ t - τ d τ

Passo 8

Vamos resolver essa integral,

∫ sen ⁡ 2 τ t - τ d τ

Vamos fazer por partes

t - τ = u → d u = - d τ

sen ⁡ 2 τ d τ = d v → v = - cos ⁡ 2 τ 2

Assim vamos ter

∫ sen ⁡ 2 τ t - τ d τ = - t - τ cos ⁡ 2 τ 2 - ∫ - cos ⁡ 2 τ 2 - d τ =

- t - τ cos ⁡ 2 τ 2 - ∫ cos ⁡ 2 τ 2 d τ = - t - τ cos ⁡ 2 τ 2 - sen ⁡ 2 τ 4

Passo 9

A nossa função h t vai ficar

h t = - t - τ cos ⁡ 2 τ 2 - sen ⁡ 2 τ 4 0 t

h t = - t - t cos ⁡ 2 t 2 - sen ⁡ 2 t 4 - - t - 0 cos ⁡ 2.0 2 - sen ⁡ 2.0 4

h t = - sen ⁡ 2 t 4 - - t cos ⁡ 0 2 - sen ⁡ 0 4

h t = - sen ⁡ 2 t 4 - - t 2

h t = - sen ⁡ 2 t 4 + t 2

Passo 10

Fizemos lá em cima, a seguinte conta

L y s = 1 2 - e - s L h t s + e - 2 s L h t s

Lembrando que

L u c t f t - c = e - c s L f t

Vamos ter

L y s = 1 2 - L u 1 t h t - 1 + L u 2 t h t - 2

Assim vamos ter

y t = 1 2 - u 1 t h t - 1 + u 2 t h t - 2

Substituindo a função h t que trocamos, vamos ter

y t = 1 2 - u 1 t - sen ⁡ 2 t - 1 4 + t - 1 2 + u 2 t - sen ⁡ 2 t - 2 4 + t - 2 2

y t = 1 2 - u 1 t - sen ⁡ 2 t - 2 4 + t - 1 2 + u 2 t - sen ⁡ 2 t - 4 4 + t - 2 2

y t = u 1 t sen ⁡ 2 t - 2 8 - t - 1 4 + u 2 t - sen ⁡ 2 t - 4 8 + t - 2 4

Resposta

a)

g t = u 1 t 1 - t + u 2 t t - 2

L g t = - e - s s 2 + e - 2 s s 2

b)

y t = u 1 t sen ⁡ 2 t - 2 8 - t - 1 4 + u 2 t - sen ⁡ 2 t - 4 8 + t - 2 4

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a função p definida por: p ( t )=t ,0 ≤ t1 , 2 - t ,1 ≤ t2 ; p ( t + 2 ) = p ( t ) Esboce o gráfico de y = p(t).Encontre ℒ { p ( t ) } , notando que p é a extensão periódica da função h no P
Use os resultados do Problema 25 para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada. F ( s ) = 1 9 s 2 - 12 s + 3
Use os resultados do Problema 25 para encontrar a transformada de Laplace inversa da função dada. F ( s ) = 2 s + 1 4 s 2 + 4 s + 5
Use o resultado do Problema 34 para encontrar a transformada de Laplace da função dada. f ( t )=1 ,0 ≤ t1 f ( t ) =- 1 ,1 ≤ t2 ; f ( t + 2 )=f ( t ) função f ( t )
Encontre a transformada de Laplace da função dada. f ( t )=1 ,0 ≤ t1 f ( t )=0 ,1 ≤ t2 f ( t )=1 ,2 ≤ t3 f ( t )=0 ,t ≥ 3