Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

UERJ - Cálculo 3 - Lista 9 Fernando Lopes - 2a

Resolva

y ' ' + 4 y = f t ; y 0 = 0 , y ' 0 = 0 f t = 0 s e 0 < t < π 4 s e π t < 3 π 0 s e t 3 π

Passo 1

Partiu resolver umas EDOs que tenham função degrau? Hehehe

Aplica Laplace em tudo:

L [ y ' ' + 4 y ] = L [ f t ]

L y ' ' + 4 L y = L [ f t ]

Mas quem é f t ?

Ele tem que ser 0 antes de π , e depois de 3 π , né?

Belezinha, ve se essa função casa bem:

f t = 4 u π t - 4 u 3 π t

Bacana, ela funciona! Depois de π o u π t vale 1 e o u 3 π t fica 0 , assim a soma vai ficar 4 . Faz o mesmo raciocínio para depois de 3 π e você verá que vai dar 0 .

Vamos aplicar os laplaces:

L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 = s 2 L y

L f t = 4 L u π t - u 3 π t = 4 e - π s s - 4 e - 3 π s s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os laplaces encontrados na equação:

s 2 L y + 4 L y = 4 e - π s s - 4 e - 3 π s s L y s 2 + 4 = 4 e - π s s - 4 e - 3 π s s L y = 4 ( e - π s - e - 3 π s ) s s 2 + 4

Utilizando fração parcial:

4 ( e - π s - e - 3 π s ) s s 2 + 4 = a s + b s + c s 2 + 4 = a + b s 2 + c s + 4 a s s 2 + 4

a + b = 0 c = 0 4 a = 4 ( e - π s - e - 3 π s )   a = ( e - π s - e - 3 π s )

Assim : b = e - 3 π s - e - π s

Substituindo:

L y = 4 ( e - π s - e - 3 π s ) s s 2 + 4 = ( e - π s - e - 3 π s ) s + ( e - 3 π s - e - π s ) s s 2 + 4

Abrindo isso daí:

L y = e - π s s - e - 3 π s s + e - 3 π s s s 2 + 4 - e - π s s s 2 + 4

Passo 3

Então galera vamos resolver cada parte, para isso primeiro vamos organizar isso tudo

L y = L y 1 + L y 2 + L y 3 + L y 4

Onde

L y 1 = e - π s s

L y 2 = - e - 3 π s s

L y 3 = e - 3 π s s s 2 + 4

L y 4 = - e - π s s s 2 + 4

Fizemos isso porque achando cada y ali de cima temos as parcelas da solução. Depois é só somar tudo

Todas essa funções estão com um exponencial junto né? Temos uma transformação que leva isso em consideração

L u c t f t - c = e - c s L f t s

Então em cada uma dessas funções, precisamos nos preocupar só com a parte sem exponencial, para achar a f t , depois fazemos u c t f t - c e temos cada uma das nossas funções.

Começando com y 1

L y 1 = e - π s s = e - π s 1 s

Lembrando que

L 1 = 1 s

Temos

L y 1 = e - π s 1 s = e - π s L 1

Como 1 é uma função que não muda nada mudando o t para t - π vamos ter

L y 1 = e - π s L 1 = L u π t 1

Assim

y 1 = u π t

Passo 4

Vamos para y 2 agora.

L y 2 = - e - 3 π s s = - e - 3 π s 1 s

De novo, lembrando que

L 1 = 1 s

Temos

L y 2 = - e - 3 π s 1 s = - e - 3 π s L 1

Como 1 é uma função que não muda nada mudando o t para t - 3 π vamos ter

L y 2 = - e - 3 π s L 1 = - L u 3 π t 1 = L - u 3 π t 1

Assim

y 2 = - u 3 π t

Passo 5

Vamos para y 3 agora.

L y 3 = e - 3 π s s s 2 + 4

Lembrando que

L cos a t = s s 2 + a 2

Temos, no nosso caso, onde a = 2

L y 3 = e - 3 π s s s 2 + 4 = e - 3 π s L cos 2 t

Dessa vez, mudar o t para t - 3 π vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso

L y 3 = e - 3 π s L cos 2 t = L u 3 π t cos 2 t - 3 π

Assim

y 3 = u 3 π t cos 2 t - 3 π

Passo 6

Vamos para y 4 agora.

L y 4 = - e - π s s s 2 + 4

De novo, lembrando que

L cos a t = s s 2 + a 2

Temos, no nosso caso, onde a = 2

L y 4 = - e - π s s s 2 + 4 = - e - π s L cos 2 t

Dessa vez, mudar o t para t - π vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso

L y 4 = - e - π s L cos 2 t = - L u π t cos 2 t - π = L - u π t cos 2 t - π

Assim

y 4 = - u π t cos 2 t - π

Passo 7

Agora que achamos cada y daqueles, vamos juntar tudo para achar a resposta final

y = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

Lembrando os valores de y 1 , y 2 , y 3 e y 4 que achamos nos passos anteriores

y 1 = u π t

y 2 = - u 3 π t

y 3 = u 3 π t cos 2 t - 3 π

y 4 = - u π t cos 2 t - π

A nossa função y vai ser

y = u π t - u 3 π t + u 3 π t cos 2 t - 3 π - u π t cos 2 t - π

Resposta

y = u π t - u 3 π t + u 3 π t cos 2 t - 3 π - u π t cos 2 t - π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas