Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac

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Enunciado

Resolva* por transformada de Laplace o seguinte P.V.I.:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = t δ π t + u 4 t y 0 = 1           e           y ' 0 = - 1

*Fórmula que pode ser útil:

∫ e a t sen ⁡ b t   d t = e a t a sen ⁡ b t - b cos ⁡ b t a 2 + b 2 .

Passo 1

Tem um monte de coisas misturadas nessa questão, então vamos resolver com bastante calma.

Já que o enunciado pediu pra resolvermos pela transformada de Laplace, vamos começar por aí: aplicando a transformada na nossa e.d.o.:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = t δ π t + u 4 t

Primeiro temos que olhar para o lado esquerdo. Nesse caso a gente vai ter que usar essas fórmulas aqui:

L y ' ' = s 2 F s - s y 0 - y ' 0 L y ' = s F s - y 0 L y = F s

Então, como y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 :

L y ' ' = s 2 F s - s + 1 L y ' = s F s - 1 L y = F s

Agora vamos substituir isso na e.d.o.:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = t δ π t + u 4 t

s 2 F s - s + 1 + 2 s F s - 2 + 2 F s = L t δ π t + u 4 t

s 2 + 2 s + 2 F s - s - 1 = L t δ π t + u 4 t

Beleza, o lado esquerdo já foi.

Passo 2

Agora vamos olhar para o lado direito, que é um pouco mais complicado:

L t δ π t + u 4 t = L t δ π t + L u 4 t

E temos que lembrar da fórmula para a transformada de Laplace da função Delta de Dirac:

L f t δ a t = f a e - s a

Ou seja, no nosso caso:

L t δ π t = π e - s π

E da fórmula para a transformada da função degrau:

L u a t = 1 s e - a s

Ou seja:

L u 4 t = 1 s e - 4 s

Beleza, agora nossa equação foi totalmente transformada:

s 2 + 2 s + 2 F s - s - 1 = L t δ π t + L u 4 t

s 2 + 2 s + 2 F s - s - 1 = π e - s π + 1 s e - 4 s

Passo 3

O próximo passo é tentar isolar F s , pra depois tentarmos tirar a transformada inversa.

s 2 + 2 s + 2 F s - s - 1 = π e - s π + 1 s e - 4 s

F s = π e - s π + 1 s e - 4 s + s + 1 s 2 + 2 s + 2

Tá, agora vamos separar isso em três frações diferentes:

F s = π e - s π s 2 + 2 s + 2 + 1 s e - 4 s s 2 + 2 s + 2 + s + 1 s 2 + 2 s + 2

Bom, agora talvez aquelas fórmulas comecem a ser úteis.

Passo 4

Vamos usar aquela fórmula pra calcular a transformada de e a t sen ⁡ b t , ou seja:

L e a t sen ⁡ b t = ∫ 0 ∞ e - s t e a t sen ⁡ b t   d t

L e a t sen ⁡ b t = ∫ 0 ∞ e - s - a t sen ⁡ b t   d t

Ou seja, a transformada é só o caso a → - s - a daquela fórmula. Beleza, vamos aproveitar a fórmula então:

∫ 0 ∞ e - s - a t sen ⁡ b t   d t = e - s - a t - s - a sen ⁡ b t - b cos ⁡ b t s - a 2 + b 2 ∞ 0

Começamos calculando o limite no infinito:

lim t → ∞ ⁡ e - s - a t - s - a sen ⁡ b t - b cos ⁡ b t s - a 2 + b 2 = 0

O limite vai pra zero porque aquela exponencial ali vai ficar muito pequena quando o t ficar muito grande.

E agora no zero é só substituir:

lim t → 0 ⁡ e - s - a t - s - a sen ⁡ b t - b cos ⁡ b t s - a 2 + b 2 = - b s - a 2 + b 2

Então:

L e a t sen ⁡ b t = 0 - - b s - a 2 + b 2 = b s - a 2 + b 2

Tá, isso é bem parecido com algumas funções que a gente tem na nossa expressão para F s .

Passo 5

Voltando na expressão lá de cima:

F s = π e - s π s 2 + 2 s + 2 + 1 s e - 4 s s 2 + 2 s + 2 + s + 1 s 2 + 2 s + 2

E vamos reescrever esse denominador para ficar com um formato parecido com o da fórmula:

s 2 + 2 s + 2 = s + 1 2 + 1

F s = π e - s π s + 1 2 + 1 + 1 s e - 4 s s + 1 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

Ok.

Vamos começar com essas duas primeira frações aí. Nas duas, aparece uma exponencial da forma e - a s . De cara você tem que lembrar dessa relação aqui:

L - 1 e - a s F s = f t - a u a t

Pra aplicar isso na primeira fração, por exemplo, vamos começar achando a transformada inversa sem considerar a exponencial:

F 1 s = π 1 s + 1 2 + 1

Pela fórmula lá de cima:

L e a t sen ⁡ b t = b s - a 2 + b 2

Dá pra ver que a transformada inversa de F 1 s é exatamente isso.

Nesse caso com b = 1 e a = - 1 , e uma constante π que a gente pode adicionar depois:

L - 1 π 1 s + 1 2 + 1 = f 1 t = π e - t sen ⁡ t

Mas o que a gente quer calcular mesmo é essa transformada inversa aqui:

L - 1 π e - s π s + 1 2 + 1

Que é a mesma que acabamos de fazer, mas com um e - s π no meio.

L - 1 e - a s F 1 s = f 1 t - a u a t         c o m             a = π f 1 t = π e - t sen ⁡ t F 1 s = π 1 s + 1 2 + 1

Ou seja:

L - 1 π e - s π s + 1 2 + 1 = π e - t - π sen ⁡ t - π u π t  

Um pouco confuso, né? Aguenta firme que ainda tem mais uma fração quase igual a essa.

Passo 6

Agora a gente quer fazer a transformada inversa dessa fração aqui:

1 s e - 4 s s + 1 2 + 1

Mais uma vez, vamos começar procurando a transformada inversa sem a exponencial:

F 2 s = 1 s s + 1 2 + 1 = 1 s s 2 + 2 s + 2

Aqui não tem jeito, vamos ter que tirar frações parciais:

F 2 s = 1 s s 2 + 2 s + 2 = A s + B s + C s 2 + 2 s + 2

Mulitplicando tudo por s s 2 + 2 s + 2 :

1 = A s 2 + 2 s + 2 + B s + C s

1 = A + B s 2 + 2 A + C s + 2 A

E comparando os dois lados, dá escrever um sistema (que a gente vai resolver de baixo pra cima):

A + B = 0 2 A + C = 0 2 A = 1         ⇒           B = - 1 / 2 C = - 1 A = 1 / 2

Então:

F 2 s = 1 s s 2 + 2 s + 2 = 1 2 s + - 1 2 s - 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 2 s + - s - 2 2 s 2 + 2 s + 2

Reorganizando um pouco:

F 2 s = 1 2 s - 1 2 s s + 1 2 + 1 - 1 2 2 s + 1 2 + 1

F 2 s = 1 2 s - 1 2 s s + 1 2 + 1 - 1 s + 1 2 + 1

Ainda dá pra simplificar mais um pouco. Vamos somar e subtrair 1 no numerador da segunda fração:

1 2 s s + 1 2 + 1 = 1 2 s + 1 s + 1 2 + 1 - 1 2 1 s + 1 2 + 1

Ou seja:

F 2 s = 1 2 s - 1 2 s + 1 s + 1 2 + 1 - 1 2 1 s + 1 2 + 1 - 1 s + 1 2 + 1

F 2 s = 1 2 s - 1 2 s + 1 s + 1 2 + 1 - 3 2 1 s + 1 2 + 1

Tá, já simplificamos bastante a expressão, de repente agora a gente já consegue tirar a transformada inversa.

Passo 7

A primeira fração é a mais fácil, porque é a transformada da função degrau:

L 1 2 s = 1 2   L 1 s = 1 2 u t

A segunda e a terceira são transformadas de funções “deslocadas”. Pra esse tipo de problema, a gente tem que usar essa fórmula aqui:

L - 1 F s - a = e a t f t

Então:

L - 1 1 2 s + 1 s + 1 2 + 1 = 1 2 e - t cos ⁡ t

E:

L - 1 3 2 1 s + 1 2 + 1 = 3 2 e - t sen ⁡ t

Então a transformada inversa daquela função é:

L - 1 F 1 s = 1 2 u t - 1 2 e - t cos ⁡ t - 3 2 e - t sen ⁡ t

L - 1 F 1 s = u t - e - t cos ⁡ t - 3 e - t sen ⁡ t 2

Finalmente! Mas lembra que nosso objetivo mesmo é resolver a transfomada inversa disso aqui:

1 s e - 4 s s + 1 2 + 1

Ou seja, é a transformada da função que a gente já inverteu multiplicada por uma exponencial. Temos que usar essa fórmula aqui:

L - 1 e - a s F s = f t - a u a t

Nesse caso a gente tem a = 4 , então:

L - 1 1 s e - 4 s s + 1 2 + 1 = u 4 t u 4 t - e - t - 4 cos ⁡ t - 4 - 3 e - t - 4 sen ⁡ t - 4 2

Tá, agora só falta mais uma. Não desista!

Passo 8

Só pra relembrar, esse esforço todo é pra tirar a transformada inversa dessa função aqui:

F s = π e - s π s + 1 2 + 1 + 1 s e - 4 s s + 1 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

Já vimos que a da primeira função é:

L - 1 π e - s π s + 1 2 + 1 = π e - t - π sen ⁡ t - π u π t  

E a da segunda é:

L - 1 1 s e - 4 s s + 1 2 + 1 = u 4 t u 4 t - e - t - 4 cos ⁡ t - 4 - 3 e - t - 4 sen ⁡ t - 4 2

Por sorte a terceira é bem mais fácil de inverter. Dá uma olhada na fórmula da transformada do cosseno:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

E a terceira fração é:

F 3 s = s + 1 s + 1 2 + 1

Que é simplesmente a transformada do cosseno deslocada por - 1 . Então vamos usar essa fórmula aqui:

L - 1 F s - a = e a t f t

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t

Então (finalmente) a transformada inversa da nossa função é:

F s = π e - s π s + 1 2 + 1 + 1 s e - 4 s s + 1 2 + 1 + s + 1 s + 1 2 + 1

E como y t = L - 1 F s

y t = π e - t - π sen ⁡ t - π u π t + u 4 t u 4 t - e - t - 4 cos ⁡ t - 4 - 3 e - t - 4 sen ⁡ t - 4 2 + e - t cos ⁡ t

Essa é a solução do nosso P.V.I.! Deu muito trabalho, mas conseguimos!

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y t = π e - t - π sen ⁡ t - π u π t + u 4 t u 4 t - e - t - 4 cos ⁡ t - 4 - 3 e - t - 4 sen ⁡ t - 4 2 + e - t cos ⁡ t

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