Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 13, Questão 4

Passo 1

Uma equação de Euler de 2ª ordem aparece no formato

x 2 y " + α x y '   + β y = 0

Olhando para a nossa EDO, dá para ver que falta pouco para ela estar nesse formato

2 x 2 y "   + 5 x y ' - 2 y = 0

Dividindo a equação inteira por 2 , ficamos com

x 2 y " + 5 2 x y ' - y = 0

Vemos então que é uma Equação de Euler de coeficientes

α = 5 2

β = - 1

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos a seguinte equação característica:

F r = r 2 + α - 1 r + β = 0

No nosso caso

F r = r 2 + 5 2 - 1 r - 1 = 0

r 2 + 3 2 r - 1 = 0

∆ = 9 4 + 4 = 25 4 > 0

Resolvendo encontraremos

r 1 = - 2

r 2 = 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como ∆ > 0 , a solução da EDO é

y x = C 1 x r 1 + C 2 x r 2  

Então ficamos com

y x = C 1 x - 2 + C 2 x 1 2

y x = C 1 x 2 + C 2 x

Mas atenção, o enunciado nos diz que x < 0 , então caso a solução fosse essa aí de cima, teríamos uma solução complexa (raiz de um número negativo). Então precisamos adaptar aqui, para permanecer nos reais nossa solução vai ser:

y x = C 1 x 2 + C 2 - x

Resposta

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