Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Considere a seguinte família de equações de Euler abaixo, onde k é uma constante real.

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = k ,       x > 0

  1. Encontre a solução da equação homogênea correspondente que satisfaz as condições y 1 = 1 e y e = 0 , onde e é a base do logaritmo neperiano.
  2. Seja y ( x ) uma solução qualquer da EDO, com k = 1 . Encontre o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Passo 1

Fala pessoal! Equações de Euler são aquelas na forma ∑ x n y n = 0 , para as quais propomos solução polinomial y = x r e substituímos para determinar r . Encontradas as soluções devemos verificar se são L.I. e, depois disso, aplicaremos as condições para amarrar o problema. Acompanhe a equação homogênea associada:

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 0

⇒ 16 x 2 r r - 1 x r - 2 + 8 x r x r - 1 + x r = 0

⇒ 16 r 2 - 8 r + 1 x r = 0 ,       x > 0

⇒ 16 r 2 - 8 r + 1 = 0

⇒ 4 r - 1 2 = 0

Assim, temos que y 1 = x 1 / 4 é solução da EDO.

Passo 2

Pelo método da redução de ordem, busquemos uma segunda solução da forma y 2 = u x y 1 :

16 x 2 y 2 ' ' + 8 x y 2   ' + y 2 = 0

16 x 2 ( u ' ' y 1 + 2 u ' y 1 ' + u y 1 ' ' ) + 8 x ( u ' y 1 + u y 1 ' ) + ( u y 1 ) = 0

16 x 2 ( u ' ' x 1 4   + 2 4 u ' x - 3 4 ) + 8 x u ' x 1 4 + u ( 16 x 2 y 1 ' ' + 8 x y 1 ' + y 1 ⏟ = 0 ,       y 1   é   s o l .     ) = 0

Como x > 0 , multiplicamos o que sobrou da equação por x 3 4 sem adicionar raízes:

16 x 2 u ' ' x   + 2 4 u ' + 8 x 2   u ' = 0 ⇒ u ' ' 16 x 3 + u ' 16 x 2 = 0 ⇒ ( : 16 x 2 )

⇒ u ' ' x + u ' = 0 ⇒ u ' x ' = 0 ⇒ u ' x = C ,       C ∈ R

⇒ u ' = C x ⇒ u = ∫ C x d x = C ln ⁡ x + D  

Assim, a menos das constantes, para x > 0 , temos por solução:

y 2 = u y 1 = x 1 4 ln ⁡ x

Passo 3

Para verificar se as soluções são L.I., considere o Wronskiano:

W y 1 ,   y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x 1 4 x 1 4 ln ⁡ x 1 4 x -   3 4 1 4 x -   3 4 ln ⁡ x + x 1 4 x

Tirando os fatores comuns das linhas:

W y 1 ,   y 2 = x 1 4 x - 3 4 4   1 ln ⁡ x 1 ln ⁡ x + 4 = 1 4 x 4 = 1 x ≠ 0  

Como W y 1 ,   y 2 ≠ 0 para x > 0 , as soluções formam um conjunto fundamental de soluções tais que a solução geral é dada por:

y = c 1 x 1 4 + c 2 x 1 4 ln ⁡ x

Passo 4

Aplicando as condições, determinaremos as constantes c 1 , c 2 :

y 1 = c 1 + c 2 ln ⁡ 1 = 1 y e = c 1 e 1 4 + c 2 e 1 4 ln ⁡ e = 0 ⇒ c 1 = 1 c 1 e 1 4 + c 2 e 1 4 = 0 ⇒ c 1 = 1 c 2 = - 1 ⇒

Logo, a solução da equação homogênea associada com as condições impostas é dada por:

y = x 1 4 - x 1 4 ln ⁡ x

Resposta

y = x 1 4 - x 1 4 ln ⁡ x

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