Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 13, Questão 16

Passo 1

Vamos resolver essa EDO pelo método da variação de parâmetros. Para isso, a primeira coisa é resolver essa equação como se fosse homogênea, então vamos ignorar aquele termo ali do outro lado da igualdade rapidinho.

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0  

Tá no formatinho da EDO de Cauchy-Euler, vamos resolver por aquele macete que vai ser moleza.

α = - 2       e       β = 2

Então

r 2 - 3 r + 2 = 0

∆ = 9 - 8 = 1

E nossas raízes vão ser

r 1 = 2     e   r 2 = 1

E a solução da EDO homogênea fica

y h x = C 1 x 2 + C 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agooooora que vamos resolver a parte não homogênea. No método da variação de parâmetros

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Onde y 1     e   y 2 vem da nossa solução homogênea. E calcula-se f 1   e   f 2 fazendo

f 1 = ∫ y 2   B ( x ) M d x   ;   f 2 = ∫ - y 1   B ( x ) M d x  

E

M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2

B x é aquela função chatinha do outro lado a integral. Maaas atenção, precisamos pra isso da nossa EDO no formato

y ' ' x + p y ' x + q y x = B ( x )

E nossa EDO é

x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x 3 ln ⁡ x  

Para deixar no formato do método precisamos dividir a equação inteira por x 2 , ficando com

y ' ' - 2 x - 1 y ' + 2 x - 2 y = x ln ⁡ x

Passo 3

Então vamos lá! Com a EDO no formato do método vamos encontrar essa solução particular! y ' ' - 2 x - 1 y ' + 2 x - 2 y = x ln ⁡ x

Logo,

B x = x ln ⁡ x

M = 2 x 1 x 2 x = 2 x 2 - x 2 = x 2

Então

f 1 = ∫ y 2   B ( x ) M d x = ∫ x   x ln ⁡ x x 2 d x

f 1 = ∫ ln ⁡ x   d x  

Que se resolvido por partes fica

f 1 = x ln ⁡ x - x

f 2

f 2 = ∫ - y 1   B ( x ) M d x = ∫ - x 2   x ln ⁡ x x 2 d x

Que também resolvendo por partes resulta em

f 2 = - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4

Passo 4

Encontramos f 1     e   f 2 , agora podemos aplicar na nossa solução particular

y p x = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

y p x = x ln ⁡ x - x x 2 + - x 2 2 ln ⁡ x + x 2 4 x

y p x = x 3 ln ⁡ x - x 3 - x 3 2 ln ⁡ x + x 3 4

y p x = x 3 2 ln ⁡ x - 3 4 x 3

Passo 5

Sabemos que a solução da EDO é

y x = y h x + y p ( x )

E

y h x = C 1 x 2 + C 2 x

y p x = x 3 2 ln ⁡ x - 3 4 x 3

Logo, nossa solução é

y x = C 1 x 2 + C 2 x + x 3 2 ln ⁡ x - 3 4 x 3

y x = C 1 x 2 + C 2 x + x 3 4 2 ln ⁡ x - 3

Ufa! Finalmente!

Resposta

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