Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 13, Questão 8

Passo 1

Essa é uma EDO tipo Cauchy-Euler. Não vamos nos estressar inicialmente como esse x - 1 que aparece nos dois primeiros termos. Vamos resolve-la como se fosse

x 2 y ' ' + 7 x y ' + 9 y = 0  

E resolver isso é moleza demais! Já sabemos aquele macete que diz que nossa equação característica vai ser

r 2 + α - 1 r + β = 0

Quando tivermos esse formato.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá

α = 7

β = 9

Então a equação fica

r 2 + 6 r + 9 = 0

Que é facílimo de encontrar as raízes

Δ = 36 - 36 = 0

r 1 = r 2 = - 3

Passo 3

Determinadas as raízes, vamos substitui-las na solução geral para casos onde Δ = 0

y x = C 1 x r + C 2 x r ln ⁡ x

Então ficamos com

y x = C 1 x 3 + C 2 ln ⁡ x x 3

Passo 4

Maaaas, não vamos esquecer que lá no início, ignoramos aquele x - 1 . Agora temos que substituir onde temos x por x - 1 .

y x = C 1 x 3 + C 2 ln ⁡ x x 3

Nossa solução vai ser

y x = C 1 ( x - 1 ) 3 + C 2 ln ⁡ x - 1 ( x - 1 ) 3

Essa é nossa solução!

Resposta

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