Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Seja y = y ( x ) a solução da EDO x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 satisfazendo y 1 = 1 e y ' 1 = 2 . Então, y ( e 2 ) é igual a:

Escolha uma opção:

a) e 8

b) e 2

c) e 3

d) e 6

e) e 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação de Euler de segunda ordem, que tem a forma geral:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Repare que o grau do polinômio que multiplica a derivada é igual ao grau da própria derivada nesses casos. Para encontrar a solução dessa equação homogênea utilizamos um polinômio característico F ( r ) ou equação indicial, que tem o formato:

r 2 + α - 1 r + β = 0

Utilizando essa equação, nós vamos encontrar as raízes da equação indicial. Se nossas raízes forem reais e distintas, temos uma solução da forma:

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

Se elas forem reais e iguais ou duas raízes complexas nós recaímos em soluções diferentes. Mas para essa questão, vamos focar nesse caso. Em seguida, vamos encontrar o valor das constantes c 1 e c 2 através das condições de contorno y 1 = 1 e y ' 1 = 2 que o enunciado nos deu, para finalmente obter y ( e 2 ) da solução geral.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que para a nossa EDO x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 , α = - 4 e β = 6 . Colocando na forma r 2 + α - 1 r + β = 0 , temos:

r 2 + - 4 - 1 r + 6 = 0

r 2 - 5 r + 6 = 0

Encontrando as raízes da equação do segundo grau usando Bhaskara, temos:

r = 5 ± 25 - 24 2 = 5 ± 1 2

Então, as raízes da equação indicial são:

r 1 = 3                   e             r 2 = 2

Que são duas raízes reais e distintas. Então, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

Substituindo r 1 e r 2 :

y x = c 1 x 3 + c 2 x 2

Passo 3

Para encontrar das constantes c 1 e c 2 vamos usar as condições de contorno y 1 = 1 e y ' 1 = 2 . Substituindo x = 1 e y = 1 na nossa solução, temos:

1 = c 1 1 3 + c 2 1 2

c 1 + c 2 = 1

Derivando agora y ( x ) :

y ' x = 3 c 1 x 2 + 2 c 2 x

Substituindo y ' 1 = 2 , temos:

2 = 3 c 1 1 2 + 2 c 2 ( 1 )

3 c 1 + 2 c 2 = 2

Resolvendo o sistema:

c 1 + c 2 = 1 3 c 1 + 2 c 2 = 2

Encontramos:

c 1 = 0

c 2 = 1

Então, nossa solução geral será:

y x = ( 0 ) x 3 + ( 1 ) x 2

y x = x 2

Substituindo x = e 2 , temos:

y e 2 = e 2 2 = e 4

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e) e 4

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