Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2016.1, Questão 3

Considere a equação de Euler com parâmetro

x 2 y ' ' + x y ' + β y = 0

Encontre todos os valores de β para os quais existe ao menos uma solução y x que satisfaz lim x 0 y x =

Passo 1

Para a equação de Euler acima temos que a equação indicial é:

r r - 1 + r + β = 0

Então:

r 2 + β = 0

Assim, vamos considerar três casos:

  1. β < 0
  2. β = 0
  3. β > 0

Vamos agora ver as soluções para cada caso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para β < 0 , temos que as raízes são reais e distintas, assim:

y = A x   β + B x -   β

Para a B > 0 , temos que y quando x 0 .

Passo 3

Para β = 0 , temos duas raízes iguais, então:

y = A + B ln x  

Para a B < 0 , temos que y quando x 0 .

Passo 4

Para β > 0 , temos que as raízes são imaginárias, assim:

y = A cos β ln x + B sen β ln x

Como só possui funções seno e cosseno, a solução é sempre limitada.

Resposta

β < 0 e β = 0

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