Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 216, exercício 36

Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de x 2 y ' ' + β y = 0 tendem a zero quando x 0 .

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficiente α = 0 ( β é o que queremos encontrar).

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 0 - 1 r + β = 0

r 2 - r + β = 0

r = 1 ± 1 - 4 β 2

1 - 4 β =

Como nós não conhecemos β , não sabemos se > 0 , = 0 ou < 0 , então, vamos ter que analisar a questão para cada um desses três casos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Supondo que > 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β > 0

    β < 1 4

    Então, estamos analisando esses valores de β , que fazem ser positivo.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, temos duas raízes reais distintas:

    r 1 = 1 + 1 - 4 β 2

    r 2 = 1 - 1 - 4 β 2

    E as soluções da EDO são do tipo

    y x = a 1 x r 1 + a 2 x r 2

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0

O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , não é? Em outras palavras, queremos:

lim x 0 a 1 x r 1 + a 2 x r 2 = 0

Isso ocorre quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r 1 > 0 e r 2 > 0 .

Caso contrário, se x for elevado a uma raiz negativa, como - 1 por exemplo, temos 1 / x . Quando x 0 , isso tende a infinito. Se a raiz for nula, temos x 0 = 1 e a solução continua sem tender para zero.

Portanto, precisamos de raízes positivas:

r 1 = 1 + 1 - 4 β 2 > 0

r 2 = 1 - 1 - 4 β 2 > 0

Para não complicar muito as coisas, já vamos considerar valores de positivos, que é o caso 1. Sendo assim, a primeira inequação é satisfeita para qualquer positivo, portanto, para β < 1 / 4 . Falta, então, analisar a segunda.

Da mesma forma que na primeira, temos que ter > 0 , portanto, β < 1 / 4 , esse é o valor máximo que β assume. Mas essa inequação não é satisfeita para qualquer β < 1 / 4 , veja que, para termos r 2 positiva precisamos de:

1 - 4 β < 1         β > 0

Se essa raiz for maior que 1 , teremos 1 - n ú m e r o   m a i o r   q u e   1 < 0 , a raiz fica negativa. Certo? Então, a solução da segunda inequação é 0 < β < 1 / 4 .

Como nós precisamos que r 1 E r 2 sejam positivas temos que fazer a interseção entre as soluções das duas inequações, que é

0 < β < 1 / 4

Passo 3

Supondo que = 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β = 0

    β = 1 4

    Então, agora estamos analisando apenas esses valores de β , que fazem ser igual a zero.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, encontramos a raiz dupla da equação característica:

    r = 1 ± 0 2 = 1 2

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x r + a 2 x r ln x

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , ou seja:

    lim x 0 a 1 x r + a 2 x r ln x = 0

    lim x 0 a 1 + a 2 ln x x r = 0

    Novamente, isso deve ocorrer quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r > 0 , pelo mesmo motivo que vimos no caso anterior. Veja que aparece um limite do tipo lim x 0 x r ln x . Como a gente sabe que lim x 0 ln x = - , a gente tem que dar uma olhada com mais calma nesse limite que apareceu, pra ver se ele realmente vai pra zero.

    Supondo que r > 0 :

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 ln x 1 x r = lim x 0 ln x x - r

    Caímos numa indeterminação do tipo / . Usando nosso velho amigo L’Hospital:

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 ln x ' x - r ' = lim x 0 1 x - r x - r - 1

    lim x 0 x r ln x = lim x 0 - x r r = 0

    O limite vai pra zero! Queremos, então:

    r = 1 2 > 0

    Isso é sempre verdade, logo, sempre que for zero, o problema é satisfeito.

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Para o caso 2, temos então a seguinte solução:

β = 1 4

Passo 4

Supondo que < 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. = 1 - 4 β < 0

    β > 1 4

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nessa região temos negativo, o que nos leva a duas raízes complexas para a equação característica:

    r 1 = 1 + i 4 β - 1 2 = λ + i μ

    r 2 = 1 - i 4 β - 1 2 = λ - i μ

    Veja que, para colocar i em evidência, tivemos que mudar o sinal do que está dentro da raiz!

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x λ cos ( μ ln x ) + a 2 x λ sen ( μ ln x )

    Já sabemos que λ = 1 / 2 .

  5. Encontrar β que faz lim x 0 y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , ou seja:

    lim x 0 a 1 x 1 / 2 cos ( μ ln x ) + a 2 x 1 / 2 sen ( μ ln x ) = 0

    lim x 0 a 1 cos ( μ ln x ) + a 2 sen ( μ ln x ) x 1 / 2 = 0

    Bom, esse limite já dá zero, não é? Temos:

    a 1 cos ( μ ln 0 ) + a 2 sen ( μ ln 0 ) 0 1 / 2 = 0

    Para qualquer valor de μ (e, portanto, de β ).

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Estamos analisando o caso em que β > 1 / 4   , não é? Então, nosso problema é satisfeito no caso 3 para:

β > 1 / 4

Passo 5

A resposta do problema é a junção de todas as soluções que encontramos para os três casos de valores de β , ou seja:

  1. 0 < β < 1 / 4
  2. β = 1 / 4
  3. β > 1 / 4

A soma disso tudo dá

β > 0

Resposta

β > 0

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