Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Determine as raízes da equação indicial para a equação de Euler x 2 y ' ' + x y ' - 4 y = 0 .

Escolha uma opção:

a) 2 e 1 4

b) 0 e 2

c) 1 e - 1

d) 2 e - 2

e) - 1 e 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma equação de Euler de segunda ordem, que tem a forma geral:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Repare que o grau do polinômio que multiplica a derivada é igual ao grau da própria derivada nesses casos. Para encontrar a solução dessa equação homogênea utilizamos um polinômio característico F ( r ) ou equação indicial, que tem o formato:

r 2 + α - 1 r + β = 0

Utilizando essa equação, nós vamos encontrar as raízes da equação indicial, como o enunciado pede.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que para a nossa EDO x 2 y ' ' + x y ' - 4 y = 0 , α = 1 e β = - 4 . Colocando na forma r 2 + α - 1 r + β = 0 , temos:

r 2 + 1 - 1 r - 4 = 0

r 2 - 4 = 0

Isolando r e tirando a raiz quadrada dos dois lados:

r 2 = 4

r = ± 4 = ± 2

Então, as raízes da equação indicial são:

r 1 = 2                   e             r 2 = - 2

Que é a nossa letra (D).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d) 2 e - 2

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