Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Resolva PVI.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

y 1 = 1

y ' 1 = 2

Passo 1

Temos aqui um x 2 multiplicando a segunda derivada e x multiplicando a primeira, então temos uma equação na forma da equação de Euler. Então vamos supor solução y = x p . Derivando, temos:

y ' = p x p - 1

y ' ' = p p - 1 x p - 2

Substituindo, temos: x 2 ⋅ p p - 1 x p - 2 + x ⋅ p x p - 1 + x p = 0

p p - 1 x p + p ⋅ x p + x p = 0

Passo 2

Agora podemos deixar x p em evidência:

x p p p - 1 + p + 1 = 0

x p p 2 + 1 = 0

Como queremos que a solução não seja trivial, precisamos que:

p 2 + 1 = 0

Ou seja,

p = ± i

E teremos o caso em que p é complexo ( Δ < 0 ). De forma geral, para p = α ± β i , a solução será: y x = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Assim mesmo, com aquele log aparecendo. Comparando com o nosso caso, temos α = 0 e β = 1 , então: y x = x 0 c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ ln ⁡ x

y x = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ ln ⁡ x

Passo 3

Acabou? Não! Como temos um PVI, usamos as outras condições para encontrar as constantes. Sabemos que:

y 1 = 1

Assim, temos: y 1 = 1 = c 1 cos ⁡ ln ⁡ 1 + c 2 sen ⁡ ln ⁡ 1

1 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0

c 1 = 1

Para a aplicar y ' 1 = 2

derivamos usando a regra da cadeia:

y ' x = - c 1 ⋅ 1 x ⋅ sen ⁡ ln ⁡ x + c 2 ⋅ 1 x cos ⁡ ln ⁡ x

Logo, vamos ter:

y ' 1 = 2 = - c 1 ⋅ 1 1 ⋅ sen ⁡ 0 + c 2 ⋅ 1 1 cos ⁡ 0

c 2 = 2

Show, então a solução final vai ser:

y x = cos ⁡ ln ⁡ x + 2 sen ⁡ ln ⁡ x

Resposta

y x = cos ⁡ ln ⁡ x + 2 sen ⁡ ln ⁡ x

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