Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' - y = 0 ,     y 0 = - 3 ,     y ' 0 = - 1

Escolha uma opção:

a) y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - 1 2 x 3 - 7 12 x 4 + …

b y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - 1 2 x 3 - 7 8 x 4 + …

c) y x = - 3 - x - x 2 - 1 2 x 3 - 7 8 x 4 + …

d) y x = - 3 - x - x 2 - x 3 - 7 8 x 4 + …

e) y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - x 3 - 7 8 x 4 + …

f) y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - x 3 - 7 12 x 4 + …

g) y x = - 3 - x - x 2 - 1 2 x 3 - 7 12 x 4 + …

h) y x = - 3 - x - x 2 - x 3 - 7 12 x 4 + …

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis, isso quer dizer que nossa solução será por séries de potência. De acordo com as condições de contorno, nossa EDO tem ponto ordinário x 0 = 0 , e podemos supor logo de cara que nossa solução tem a forma:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …

Encontrando os a n ' s nós definimos y ( x ) . Para isso, vamos derivar y ( x ) duas vezes, substituir na EDO e verificar o valor dos coeficientes.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y ( x ) :

y ' x = ∑ n = 0 ∞ a n x n ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Derivando mais uma vez, temos:

y ' ' x = ��� n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo na EDO 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' - y = 0 , vamos ter:

  1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Aplicando a distributiva no primeiro somatório:

1 ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Podemos pegar esse x do lado de fora e passa-lo pra dentro, lembrando que x ∙ x n = x n + 1 . Logo,

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Precisamos juntar esses somatórios pra simplificar as coisas. Vamos começar deixando-os com a mesma potência de x , nesse caso, x n .

Para a primeira série:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Na prática, vamos somar 2 na frente de todo n no somatório:

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

E temos todo mundo com x n :

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 4

Agora vamos colocar essas quatro séries dentro de uma só. Para isso, vamos fazer os somatórios começarem em n = 2 , que é o maior valor nesse caso. O que nós vamos fazer é pegar as séries que estão diferentes e tirar os valores para n = 0 e n = 1 .

Fica assim:

2 a 2 + 6 a 3 x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ 2 n a n x n - a 0 - a 1 x + ∑ n = 2 ∞ a n x n = 0

Agora podemos juntar os somatórios colocando x n em evidência:

2 a 2 + 6 a 3 x - 2 a 1 x - a 0 - a 1 x + ∑ n = 2 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n - 2 n a n - a n = 0

2 a 2 + 6 a 3 x - 3 a 1 x - a 0 + ∑ n = 2 ∞ x n n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n - 2 n a n - a n

Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, para essa igualdade ser satisfeita temos:

2 a 2 + 6 a 3 x - 3 a 1 x - a 0 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n - 2 n a n - a n = 0

Essa última equação é nossa relação de recorrência dos coeficientes. Agora com base nessa equação vamos calcular alguns a n ' s .

Passo 5

Lembrando de usar as informações que o problema nos deu: y 0 = - 3 e y ' 0 = - 1 . Substituindo isso na nossa solução em série:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …

y 0 = a 0 = - 3

y ' 0 = a 1 = - 1

E lembrando que:

2 a 2 + 6 a 3 x - 3 a 1 x - a 0 = 0 → 2 a 2 - a 0 + 6 a 3 - 3 a 1 x = 0

Logo,

2 a 2 - a 0 = 0 → a 2 = a 0 2 =

Como a 0 = - 3 , temos:

a 2 = - 3 2

Agora sim, com esses dados vamos usar a relação de recorrência:

n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n - 2 n a n - a n = 0

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n n - 1 a n + 2 n a n + a n n + 2 n + 1

Para encontrar nossa solução conforme as alternativas da nossa questão, basta a gente encontrar agora a 3 e a 4 . Então, vamos substituir n = 1 e n = 2 na relação de recorrência:

n = 1 →   a 1 + 2 = 1 1 - 1 a 1 + 2 ( 1 ) a 1 + a 1 1 + 2 1 + 1   → a 3 = 3 a 1 6

Como a 1 = - 1 , temos:

a 3 = 3 ( - 1 ) 6 = - 1 2

Agora para n = 2 :

a 2 + 2 = 2 2 - 1 a 2 + 2 ( 2 ) a 2 + a 2 2 + 2 2 + 1 →     a 4 = 7 a 2 12

Como a 2 = - 3 2 , temos:

a 4 = 7 - 3 2 12 = - 7 8  

E podemos escrever:

y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - 1 2 x 3 - 7 8   x 4 + …

Que é a nossa alternativa (B).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

b)

y x = - 3 - x - 3 2 x 2 - 1 2 x 3 - 7 8   x 4 + …

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