Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Resolva as equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes:

a) y ' ' - 2 y ' + 5 y = e x c o s c o s   2 x  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO linear não homogênea:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = e x c o s c o s   2 x  

E pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Lembra como é a forma da solução geral de uma EDO não homogênea?

Ela vai ser a soma da solução homogênea, y h , com a solução particular, y p , ou seja:

y x = y h + y p

A solução homogênea vai ser encontrada através da seguinte equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Calculando as raízes dessa equação, nós descobrimos a forma da solução homogênea. Mas e a solução particular?

Nós vamos encontrar a solução particular chutando uma função f ( x ) que tenha o mesmo formato da função do lado direito da EDO. Como no nosso caso temos um produto de uma função exponencial com uma função trigonométrica ( e x c o s c o s   2 x   ), nossa solução particular vai ter a mesma carinha. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos fingir que nossa EDO seja homogênea:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0

E escrevemos sua equação auxiliar:

r 2 - 2 r + 5 = 0

Calculando as raízes dessa equação, temos:

r = 2 ± 2 2 - 4 ∙ 1 ∙ 5 2 ∙ 1 = 2 ± 4 - 20 2

Repare que dentro da raiz nós teremos um número negativo, então nossa solução vai ser um número complexo do tipo:

r = 2 ± 4 i 2 = 1 ± 2 i

Lembra como é nossa solução quando temos duas raízes complexa da forma r = α ± β i ? Ela vai ter essa cara aqui:

y h = e α x c 1 c o s c o s   ( β x )   + c 2 s i n s i n   ( β x )  

Como aqui α = 1 e β = 2 , temos:

y h = e x c 1 c o s c o s   ( 2 x )   + c 2 s i n s i n   ( 2 x )  

Essa é a nossa solução homogênea.

Passo 3

Agora para encontrar a solução particular, vamos olhar para a função que tá lá do lado direito da EDO:

f x = e x c o s c o s   2 x  

A nossa solução particular precisa ter esse formato, então vamos chutar:

y p = e x ( A c o s c o s   2 x   + B s i n s i n   2 x   )

Mas a nossa solução homogênea já tem um e x , então vamos multiplicar todo mundo por x :

y p = x e x ( A c o s c o s   2 x   + B s i n s i n   2 x   )

Agora vamos derivar isso tudo e substituir na nossa EDO. Derivando uma vez:

y p ' = A e x c o s c o s   ( 2 x )   + A x e x c o s c o s   ( 2 x )   - 2 A x e x s i n s i n   2 x   + B e x s i n s i n   2 x   + B x e x s i n s i n   2 x   + 2 B x e x c o s c o s   ( 2 x )  

Desanima não! Vamos derivar mais uma vez:

y p ' ' = A e x c o s c o s   ( 2 x )   - 2 A e x s i n s i n   2 x   + A e x c o s c o s   2 x   + A x e x c o s c o s   2 x   - 2 A x e x s i n s i n   2 x   - 2 A e x s i n s i n   2 x   - 2 A x e x s i n s i n   2 x   - 4 A x e x c o s c o s   2 x   + B e x s i n s i n   2 x   + 2 B e x c o s c o s   2 x   + B e x s i n s i n   2 x   + B x e x s i n s i n   2 x   + 2 B x e x c o s c o s   2 x   + 2 B e x c o s c o s   2 x   + 2 B x e x c o s c o s   2 x   - 4 B x e x s i n s i n   ( 2 x )  

Uffa! Vamos simplificar esse negoção:

y p ' ' = 2 A e x c o s c o s   ( 2 x )   - 3 A x e x c o s c o s   2 x   + 4 B e x c o s c o s   2 x   + 4 B x e x c o s c o s   2 x   - 4 A e x s i n s i n   2 x   - 4 A x e x s i n s i n   2 x   + 2 B e x s i n s i n   2 x   - 3 B x e x s i n s i n   ( 2 x )  

Passo 4

Agora vamos substituir todo mundo na nossa EDO:

y ' ' - 2 y ' + 5 y = e x c o s c o s   2 x  

2 A e x c o s c o s   ( 2 x )   - 3 A x e x c o s c o s   2 x   + 4 B e x c o s c o s   2 x   + 4 B x e x c o s c o s   2 x   - 4 A e x s i n s i n   2 x   - 4 A x e x s i n s i n   2 x   + 2 B e x s i n s i n   2 x   - 3 B x e x s i n s i n   2 x   - 2 A e x c o s c o s   2 x   + A x e x c o s c o s   2 x   - 2 A x e x s i n s i n   2 x   + B e x s i n s i n   2 x   + B x e x s i n s i n   2 x   + 2 B x e x c o s c o s   2 x   + 5 x e x A c o s c o s   2 x   + B s i n s i n   2 x   = e x c o s c o s   2 x  

Calma, que a gente vai simplificar isso aí:

e x c o s c o s   2 x   2 A - 3 A x + 4 B + 4 B x - 2 A - 2 A x - 4 B x + 5 A x + e x s i n s i n   2 x   - 4 A - 4 A x + 2 B - 3 B x + 4 A x - 2 B - 2 B x + 5 B x = e x c o s c o s   ( 2 x )  

Resolvendo dentro dos parênteses e cortando o e x dos dois lados, ficamos com:

c o s c o s   2 x   4 B + s i n s i n   2 x   - 4 A = c o s c o s   2 x  

Então, comparando os coeficientes, temos:

4 B = 1 - 4 A = 0

Logo,

B = 1 4

E

A = 0

Substituindo na nossa solução particular y p = x e x ( A c o s c o s   2 x   + B s i n s i n   2 x   ) , temos:

y p = 1 4 x e x s i n s i n   2 x  

E finalmente podemos escrever nossa solução geral:

y x = y h + y p

y x = e x c 1 c o s c o s   ( 2 x )   + c 2 s i n s i n   ( 2 x )   + 1 4 x e x s i n s i n   2 x   )

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y x = e x c 1 c o s c o s   ( 2 x )   + c 2 s i n s i n   ( 2 x )   + 1 4 x e x s i n s i n   2 x   )

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