Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Questão 4 - Sabe-se que y 1 x = x - 1 é uma solução da EDO x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 no intervalo 0 ,   + ∞ . Determine um conjunto fundamental de soluções para esta equação no intervalo 0 , + ∞ .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter um conjunto fundamental de soluções para a EDO dada por

x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0

Mas sabemos que y 1 x = x - 1 é uma solução para a EDO no intervalo 0 ,   + ∞ .

E como obtemos um conjunto fundamental? 🤔🤔

A ideia aqui é obter soluções da equação e calcular o Wronskiano W dessas soluções até obter um conjunto linearmente independente, ou seja, W ≠ 0 .

Obtendo um conjunto de soluções que resulte em W ≠ 0 , encontramos um conjunto fundamental de soluções.

Entendeu? Bora lá! 🤩

Passo 2

A nossa EDO é dada por x 2 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 , ou seja, uma equação de Euler devido a associação de x 2 com y ' ' , x com y ' e y estar sozinho (sem x associado).

a x 2 y ' ' + b x y ' + c y = 0

Para esse caso, a solução dessa EDO é dada por

y = x r

Onde r é obtido pelas raízes de r 2 + b a - 1 r + c a = 0

Se a = 1 , b = 3 e c = 1 , então

r 2 + 3 - 1 r + 1 = 0

r 2 + 2 r + 1 = 0

Usando Bhaskara, vamos obter

r 1,2 = - 2 ± 2 2 - 4 · 1 · 1 2 = - 1

Portanto r 1 e r 2 são iguais e nesse caso, multiplicamos um termo da solução por ln ⁡ x , ou seja.

y x = c 1 x - 1 + c 2 ln ⁡ x x - 1

Vamos verificar se esse conjunto é linearmente dependente! Desmembrando essa solução, temos que

y 1 x = x - 1 ,     y 2 x = ln ⁡ x x - 1

O Wronskiano W é obtido a partir do determinante das soluções y 1 e y 2 e suas derivadas de primeira ordem, ou seja

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos obter as derivadas de y 1 e y 2 !

Começando por y 1 pelo método de derivação polinomial, temos

y 1 ' = - 1 x - 1 - 1 = - x - 2

Já a derivada de y 2 é obtida pela regra do produto

y 2 ' = d ln ⁡ x d x · x - 1 + ln ⁡ x · d x - 1 d x

y 2 ' = x - 1 · x - 1 + ln ⁡ x · - x - 2

y 2 ' = x - 2 - ln ⁡ x x - 2

y 2 ' = 1 - ln ⁡ x x - 2

Assim, o Wronskiano é dado como

W = x - 1 ln ⁡ x x - 1 - x - 2 1 - ln ⁡ x x - 2 = 1 - ln ⁡ x x - 2 · x - 1 - - x - 2 · ln ⁡ x x - 1

W = 1 - ln ⁡ x x - 3 + ln ⁡ x x - 3

W = x - 3

Vemos que W que obtemos é diferente de 0 , portanto, y 1 e y 2 são linearmente independentes, portanto, fazem parte do conjunto fundamental de soluções da EDO!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y 1 x = x - 1 ,     y 2 x = ln ⁡ x x - 1

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