Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Dada a Equação Diferencial Ordinária t y ' ' - 1 + t y ' + y = t 2 ,     t > 0 ,   determine sua solução geral.

Passo 1

Quando não conseguimos enquadrar em problemas como coeficientes constantes ou equação de Euler é hora de um pouco de matemágica. Reescrevendo a EDO:

t y ' ' - y ' - y ' - y = t 2 ,   t > 0

Seja v = y ' - y , temos pois:

t v ' - v = t 2

A homogênea associada é tal que:

t v ' - v = 0

A qual é uma equação de Euler ∑ t n v n = 0 e, portanto, configura solução v = t r :

v ' = r   t r

t v ' - v = r - 1 t r = 0 ,       t > 0

r = 1

Assim, v h t = A t é solução geral da equação homogênea. Aplicando o método dos coeficientes a determinar uma solução particular possível é v p t = B t 2 :

t v ' - v = t 2

2 B t 2 - B t 2 = t 2

B = 1   ( i d .   p o l i n o m i a l )

Assim, a solução geral da EDO em v é:

v = v h + v p = A t + t 2

Passo 2

Contudo, temos:

y ' - y = v = A t + t 2

A homogênea associada y ' - y = 0 possui coeficientes constantes, tal que busquemos soluções y = e r t :

y ' - y = r - 1 e r t = 0 ,       e r t > 0

r = 1

Logo, a solução geral da EDO homogênea é: y h = C e t . Novamente, chutaremos uma solução particular para a EDO inomogênea y = D t 2 + E t + F :

y ' - y = 2 D t + E - D t 2 + E t + F = A t + t 2

Pela identidade polinomial, ficamos com:

- D = 1 2 D - E = A E - F = 0 ⇒ D = - 1 E = - A - 2 F = - A - 2

Logo, y p = - t 2 - A + 2 t + 1 .

Passo 3

Assim, a solução geral da EDO é:

y = y h + y p = C e t - t 2 - A + 2 t + 1

Isto é,

y = c 1 e t + c 2 t + 1 - t 2 ,       t > 0

Resposta

y = c 1 e t + c 2 t + 1 - t 2 ,       t > 0

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