Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 13, Questão 18

Passo 1

Olhando assim a gente vê uma equação bem complicada de resolver, mas vamos aplicar a substituição que ele sugeriu.

g ( t ) = y ( x )

g ' = y ' e t

g ' ' = y ' ' e 2 t + y ' e t

g ' ' ' = y ' ' ' e 3 t + 2 y ' ' e 2 t + y ' ' e 2 t + y ' e t

Podemos agora manipular essas equações e

y ' ' e 2 t = g ' ' - g '

y ' ' ' e 3 t = g ' ' ' - 3 g ' ' + 2 g '

Substituindo os valores na EDO.

g ' ' ' - 3 g ' ' + 2 g ' - 3 g ' ' - g ' + 6 g ' - 6 g = 3

g ' ' ' - 6 g ' ' + 11 g ' - 6 g = 3

Agora nós temos uma EDO com coeficientes constantes não homogênea e podemos partir para a resolução.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro passo vai ser resolver a EDO homogênea associada.

g ' ' ' - 6 g ' ' + 11 g ' - 6 g = 0

Para isso vamos montar a equação característica.

r 3 - 6 r 2 + 11 r - 6 = 0

Resolvendo a equação teremos.

r = 1 ,     r = 2 ,     r = 3  

Como só tivemos raízes de multiplicidade 1 e reais, a solução homogênea será.

g h = C 1 t + C 2 t 2 + C 3 t 3

Passo 3

Agora vamos calcular a solução particular. Vamos supor g p = C

- 6 C = 3

C = - 1 2

Logo a solução particular será

g p = - 1 2

E a solução geral será

g = g h + g p

g = C 1 e t + C 2 e 2 t + C 3 e 3 t - 1 2

Voltando para y e x .

y = C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 - 1 2

Resposta

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