Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Passo 1

Olhando assim a gente vê uma equação bem complicada de resolver, mas vamos aplicar a substituição que ele sugeriu.

g ( t ) = y ( x )

Lembrando que pra fazer essas derivadas temos que usar a regra da cadeia, beleza?

g ' = y '   d x d t = y '   d d t e t = y ' e t    

g ' ' = y ' ' d x d t e t + y ' e t = y ' ' e t e t + y ' e t = y ' ' e 2 t + y ' e t

g ' ' ' = y ' ' ' e t e 2 t + y ' ' 2 e 2 t + y ' ' e t e t + y ' e t

g ' ' ' = y ' ' ' e 3 t + 3 y ' ' e 2 t + y ' e t

Da equação para g ' podemos dizer que

g ' = y ' e t = y ' x

Já da equação para g ' ' podemos dizer que

g ' ' = y ' ' e 2 t + y ' e t

Mas esse último termo é justamente g ' , não é mesmo? Então

g ' ' = y ' ' e 2 t + g ' → y ' ' e 2 t = g ' ' - g '

y ' ' e 2 t = g ' ' - g '

E como x = e t → x 2 = e 2 t

y ' ' x 2 = g ' ' - g '

Vamos olhar agora para a equação de g ’ ’ ’  

g ' ' ' = y ' ' ' e 3 t + 3 y ' ' e 2 t + y ' e t

O último termo é g ' enquanto que o segundo é três vezes y ' ' e 2 t = g ' ' - g ' , assim

g ' ' ' = y ' ' ' e 3 t + 3 g ' ' - g ' + g '

y ' ' ' e 3 t = g ' ' ' - 3 g ' ' + 2 g '

Como x = e t → x 3 = e 3 t , então

y ' ' ' x 3 = g ' ' ' - 3 g ' ' + 2 g '

Substituindo os valores na EDO.

x 3 y ' ' ' - 3 x 2 y ' ' + 6 x y ' - 6 y = 3

g ' ' ' - 3 g ' ' + 2 g ' - 3 g ' ' - g ' + 6 g ' - 6 g = 3

g ' ' ' - 6 g ' ' + 11 g ' - 6 g = 3

Agora nós temos uma EDO com coeficientes constantes não homogênea e podemos partir para a resolução.

Passo 2

O primeiro passo vai ser resolver a EDO homogênea associada.

g ' ' ' - 6 g ' ' + 11 g ' - 6 g = 0

Para isso vamos montar a equação característica.

r 3 - 6 r 2 + 11 r - 6 = 0

Resolvendo a equação teremos.

r = 1 ,     r = 2 ,     r = 3  

Como só tivemos raízes de multiplicidade 1 e reais, a solução homogênea será.

g h = C 1 t + C 2 t 2 + C 3 t 3

Passo 3

Agora vamos calcular a solução particular. Vamos supor g p = C

- 6 C = 3

C = - 1 2

Logo a solução particular será

g p = - 1 2

E a solução geral será

g = g h + g p

g = C 1 e t + C 2 e 2 t + C 3 e 3 t - 1 2

Voltando para y e x .

y = C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 - 1 2

Resposta

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Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t . x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x
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Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. 4 x 2 y ' ' + y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0