Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2013.1, Questão 4

Encontre todos os valores de α para os quais todas as soluções de

x 2 y ' ' + α x y ' + ( 5 / 2 ) y = 0

tendem a zero quando x tende a infinito.

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficiente β = 5 / 2 ( α é o que queremos encontrar).

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + α - 1 r + 5 / 2 = 0

r = - ( α - 1 ) ± α - 1 2 - 10 2

α - 1 2 - 10 =

Como nós não conhecemos α , não sabemos se > 0 , = 0 ou < 0 , então, vamos ter que analisar a questão para cada um desses três casos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Supondo que > 0

  1. Encontrar o intervalo de α .
  2. = α - 1 2 - 10 > 0

    α 2 - 2 α - 9 > 0

    Lembra como resolve esse tipo de inequação? Vamos fazer um esboço da parábola y = a 2 - 2 a - 9 para você entender melhor:

    Queremos a parte positiva (acima do eixo horizontal). Pela figura, vemos que isso ocorre em:

    α > 1 + 10   α < 1 - 10

    Certo, então estamos analisando apenas esses valores de α , que fazem o ser positivo.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, temos duas raízes reais distintas:

    r 1 = - α - 1 + α - 1 2 - 10 2

    r 2 = - α - 1 - α - 1 2 - 10 2

    E as soluções da EDO são do tipo

    y x = a 1 x r 1 + a 2 x r 2

  5. Encontrar α que faz lim x y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x , não é? Em outras palavras, queremos:

    lim x a 1 x r 1 + a 2 x r 2 = 0

    Isso ocorre quando x for elevado a um número negativo, ou seja, quando r 1 < 0 e r 2 < 0 .

    Portanto, precisamos de raízes negativas:

    r 1 = - α - 1 + α - 1 2 - 10 2 < 0

    r 2 = - α - 1 - α - 1 2 - 10 2 < 0

    Somando as inequações, encontramos

    - α - 1 < 0

    α > 1

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Cuidado! Lembre-se de que estamos analisando apenas uma parte dos α ’s: α > 1 + 10 e α < 1 - 10 . Queremos α > 1 dentro desses valores, portanto a interseção de α > 1   com esses valores. Isso nos dá

α > 1 + 10

Passo 3

Supondo que = 0

  1. Encontrar o intervalo de α
  2. = α - 1 2 - 10 = 0

    α 2 - 2 α - 9 = 0

    α = 1 + 10   α = 1 - 10

    Então, agora estamos analisando apenas esses valores de α , que fazem ser igual a zero.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, encontramos a raiz dupla da equação característica:

    r = - α - 1 ± 0 2 = - α - 1 2

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x r + a 2 x r ln x

  5. Encontrar α que faz lim x y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x , ou seja:

    lim x a 1 x r + a 2 x r ln x = 0

    lim x a 1 + a 2 ln x x r = 0

    Novamente, isso ocorre quando x for elevado a um número netagivo, ou seja, quando r < 0 , pelo mesmo motivo que vimos no caso anterior.

    Queremos, então:

    r = - α - 1 2 < 0

    α > 1

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

A interseção de α > 1 com α = 1 + 10 e α = 1 - 10 é

α = 1 + 10

Passo 4

Supondo que < 0

  1. Encontrar o intervalo de α
  2. = α - 1 2 - 10 < 0

    α 2 - 2 α - 9 < 0

    É exatamente o oposto do que vimos no primeiro caso, a mesma parábola, mas agora queremos a parte do meio, veja:

    Logo, estamos analisando os seguintes valores de α : 1 - 10 < α < 1 + 10 .

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nessa região temos negativo, o que nos leva a duas raízes complexas para a equação característica:

    r 1 = - α - 1 + i 10 - α - 1 2 2 = λ + i μ

    r 2 = - α - 1 - i 10 - α - 1 2 2 = λ - i μ

    Veja que, para colocar i em evidência, tivemos que mudar o sinal do que está dentro da raiz!

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x λ cos ( μ ln x ) + a 2 x λ sen ( μ ln x )

  5. Encontrar α que faz lim x y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x 0 , ou seja:

    lim x a 1 x λ cos ( μ ln x ) + a 2 x λ sen ( μ ln x ) = 0

    lim x a 1 cos ( μ ln x ) + a 2 sen ( μ ln x ) x λ = 0

    Esse limite depende que x seja elevado a um número negativo. Caso contrário, lim x x λ 0 e o limite da solução também não será zero. Logo, queremos

    λ = - α - 1 2 < 0

    α > 1

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

A interseção disso com os valores de α que estamos analisando 1 - 10 < α < 1 + 10 é:

1 < α < 1 + 10

Passo 5

Calma, já está terminando! Temos então três soluções para os três casos possíveis de α . Logo, todos os valores que encontramos no final de cada um dos casos atendem ao pedido do problema. Vamos, então, unir essas respostas!

  1. α > 1 + 10
  2. α = 1 + 10
  3. 1 < α < 1 + 10

Juntando isso tudo, temos nossa resposta final: α > 1   .

Resposta

α > 1

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