Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

Ver Teoria

Enunciado

Encontre os valores de δ de modo que a solução y x do problema de valor inicial:

x 2 y ' ' + 3 x y ' - 3 y = 0 y 1 = δ ,     y ' 1 = 1 ,

seja limitada quando x → 0 + .

Passo 1

x 2 y ' ' + 3 x y ' - 3 y = 0

Olhando para a EDO, vemos que é uma equação de Euler, porque ela tem essa cara:

x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

com os coeficientes: α = 3 e β = - 3 . Vamos achar a solução dela!

Aplicando à equação a solução da forma y x =   x r , você vai achar esta equação característica

r 2 + α - 1 r + β = 0

r 2 + 3 - 1 r - 3 = 0

r 2 + 2 r - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau

r 1 = - 3   e   r 2 = 1

Passo 2

Como temos raízes reais e diferentes, a solução tem essa cara

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

y x = c 1 x - 3 + c 2 x 1

Passo 3

Queremos que lim x → 0 + ⁡ y x = L . Onde L é um valor. Isso que significa a função ser limitada em x → 0 + .

Vamos substituir nossa solução ali:

lim x → 0 + ⁡ c 1 x - 3 + c 2 x 1 = L

lim x → 0 + ⁡ c 1 1 x 3   + c 2 x 1 = L

Como lim x → 0 + ⁡ c 1 1 x 3   = ∞ . A única maneira de atendermos à nossa condição é... c 1 = 0 !

Porque pra qualquer outro valor da constante, a solução vai pra infinito, sacou?

Passo 4

Resolvendo o PVI...

Vamos considerar c 1 = 0 . Aí a nossa solução fica:

y x = c 2 x

Usamos que y ' 1 = 1 , vamos definir c 2

y ' x = c 2

y ' 1 =   c 2 ⋅ 1 = 1 ∴   c 2 = 1

Agora sim, para   y 1 = δ

y 1 = 1 ⋅ 1 = δ ∴ δ = 1

Resposta

δ = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t . x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 x
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. 4 x 2 y ' ' + y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0