Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 13, Questão 9

Passo 1

Uma equação de Euler de 2ª ordem aparece no formato

x 2 y " + α x y '   + β y = 0

Olhando para a nossa EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes

α = 1

β = 4

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos a seguinte equação característica:

F r = r 2 + α - 1 r + β = 0

No nosso caso

F r = r 2 + 4 = 0

r 2 + 4 = 0

∆   < 0

Teremos as raízes complexas ( r = λ ± μ i )

r = ± 2 i

Então

λ = 0

μ = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como ∆ < 0 , a solução da EDO é

y x = x λ ( c 1 cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( μ ln ⁡ x ) )    

Então ficamos com

y x = c 1 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) + c 2 sen ⁡ ( 2 ln ⁡ x )

Atenção! A solução geral não seria com esse módulo no logaritmo, mas como o enunciado nos diz que x ≠ 0 , isso permitiria que x fosse negativo, então temos que adicioná-lo.

Resposta

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