Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

Ver Teoria

Enunciado

Considere a equação de Euler com parâmetro

x 2 y ' ' + x y ' + β y = 0

Encontre todos os valores de β para os quais existe ao menos uma solução y x que satisfaz lim x → 0 ⁡ y x = ∞

Passo 1

Para a equação de Euler acima temos que a equação indicial é:

r r - 1 + r + β = 0

Então:

r 2 + β = 0

Assim, vamos considerar três casos:

  1. β < 0
  2. β = 0
  3. β > 0

Vamos agora ver as soluções para cada caso.

Passo 2

Para β < 0 , temos que as raízes são reais e distintas, assim:

y = A x   β + B x -   β

Para a B > 0 , temos que y → ∞ quando x → 0 .

Passo 3

Para β = 0 , temos duas raízes iguais, então:

y = A + B ln ⁡ x  

Para a B < 0 , temos que y → ∞ quando x → 0 .

Passo 4

Para β > 0 , temos que as raízes são imaginárias, assim:

y = A cos ⁡ β ln ⁡ x + B sen ⁡ β ln ⁡ x

Como só possui funções seno e cosseno, a solução é sempre limitada.

Resposta

β < 0 e β = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t . x 2 y ' ' - 3 x y ' + 13 y = 4 + 3 x
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 x
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. 4 x 2 y ' ' + y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0