Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

Encontre γ de modo que a solução do problema de valor inicial

x ² y "   -   2 y   =   0 y 1 = 1 ,   y ' 1 = γ

tende a zero quando   x tende a zero.

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma equação de Euler com os coeficientes: α = 0 e β = - 2 .

Aplicando à equação a solução da forma y x =   x r , você vai achar esta equação característica

F s =   r r - 1 - 2 = 0

r 2 - r - 2 = 0

∆ = 9

r 1 = - 1   e   r 2 = 2

Passo 2

Como temos raízes reais e diferentes, a solução tem essa cara

y x =   c 1 x - 1 + c 2 x ²

Passo 3

Queremos que lim x → 0 ⁡ y x = 0 .

Como l i m x → 0   c 1 x - 1 = l i m x → 0   c 1 x = ∞ . A única maneira de atender à nossa condição é... c 1 = 0 !

Porque pra qualquer outro valor da constante, a solução vai pra infinito, sacou?

Passo 4

Resolvendo o PVI...

Usamos que: y 1 = 1 , vamos definir c 2

y 1 =   c 2 1 2 = 1 ∴   c 2 = 1

Agora sim, para   y ' 1 = γ

y ' ( 1 ) =   2 c 2 = 2 ∴ γ = 2

Resposta

γ = 2

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