Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

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Enunciado

  1. Encontre a solução geral da equação
  2. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

    No intervalo ( 0 , ∞ ) .

  3. Seja y uma solução da equação

x 2 y ' ' + a x y ' + b y = 0

Definida num intervalo I ⊂ ( 0 ,   ∞ ) . Fazendo t = ln ⁡ x , verifique que a função

f t = y ( e t )

Satisfaz uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 1

Letra a)

Temos o seguinte:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = 5   ,   β = 4 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 5 - 1 r + 4 = 0

r 2 + 4 r + 4 = 0

r = - 2

Passo 2

Como ∆ = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x

Substituindo o valor de r :

y x = a 1 x - 2 + a 2 x - 2 ln ⁡ x

Passo 3

Letra b)

Beleza, agora precisamos mostrar que a função y ( e t ) , que é solução da Equação de Euler também satisfaz uma EDO de coeficientes constantes. Como diabos vamos fazer isso?

Primeiro vamos entender o que o problema nos deu. Ele disse que fazendo

t = ln ⁡ x

Encontramos a solução

y ( e t )

Para a Equação de Euler. Mas y não era função de x ? Sim! Mas fazendo t = ln ⁡ x   →     x = e t a solução geral y ( x ) se torna y ( e t ) . Substituímos x por e t , ok?

Passo 4

Certo, agora, vamos fazer o seguinte: y ( e t ) não é solução da Equação de Euler? Significa que podemos substituir seu valor na EDO. Mas peraí, temos o seguinte:

x 2 y ' ' + a x y ' + b y = 0

y ' = d y d x

y ' ' = d 2 y d x 2

Como a solução geral y ( x ) é função de x , as derivadas que estão na EDO são em relação à sua variável, x . Mas queremos substituir a solução y em função da variável t , não é? E agora?

Agora vamos desenterrar, dos Cálculos passados, a famosa Regra da Cadeia. Não lembra dela? É o seguinte:

y ' = d y d x = d y d t ⋅ d t d x

Ou seja, mesmo sem ter a expressão de y em função de x , podemos calcular sua derivada indiretamente dessa forma! Como

t = ln ⁡ x

Temos

d t d x = 1 x = e - t

Ok? Isso nos dá:

y ' = d y d x = d y d t e - t

Lembre-se de que queremos tudo em função de t , não de x !

Passo 5

Agora temos outro problema: esse maldito y ' ' , precisamos escrever isso em derivada de t , já que a nossa função contém a variável t , não x . Beleza, temos

y ' ' = d 2 y d x 2 = d ( y ' ) d x

Aplicando a Regra da Cadeia de novo:

y ' ' = d ( y ' ) d x = d y ' d t ⋅ d t d x

Onde d t / d x = 1 / x

y ' ' = d y ' d t ⋅ 1 x = d y ' d t ⋅ e - t

Do passo anterior, temos que

y ' = d y d t ⋅ e - t

O que nos dá o seguinte:

y ' ' = d d t d y d t ⋅ e - t ⋅ e - t

Agora temos que resolver isso aí

y ' ' = d 2 y d t 2 e - t - d y d t e - t ⋅ e - t

Passo 6

Agora vamos substituir isso tudo que encontramos e ver no que dá:

x 2 y ' ' + a x y ' + b y = 0

( e 2 t ) d 2 y d t 2 e - t - d y d t e - t ⋅ e - t + a ( e t ) d y d t ⋅ e - t + b y = 0

d 2 y d t 2 - d y d t + a d y d t + b y = 0

d 2 y d t 2 + ( a - 1 ) d y d t + b y = 0

E agora? É exatamente isso que o problema queria: substituímos y ( e t ) na Equação de Euler e suas derivadas e encontramos uma EDO do segundo grau de coeficientes constantes (1, ( a - 1 ) e b ).

Como a gente sabia que ía chegar nisso? Não sabíamos! Nesse tipo de questão você tem que usar os dados que você tem e ver o que encontra, não tem muito jeito!

Resposta

  1. y x = a 1 x - 2 + a 2 x - 2 ln ⁡ x

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