Exercícios Resolvidos de Equação de Euler-Cauchy

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2015.2, Questão 4

Seja α R e considerar a equação de Euler:

x 2 y ' ' + α x y ' - α y = 0 ,     x > 0       ( 2 )

  1. Determinar a solução geral de (2)
  2. Determinar os valores de α para os quais todas as suas respectivas soluções y ( x ) , encontradas em a), satisfazem a condição: lim x 0 + x α y x = 0 .

Passo 1

a)

Como temos uma equação de Euler, temos que procurar soluções do tipo y x = x r . Vamos calcular as derivadas e substituir na nossa equação.

y ' = r x r - 1 ,     y ' ' = r r - 1 x r - 2

Jogando na equação

x 2 r r - 1 x r - 2 + α x r x r - 1 - α x r = 0

Colocando x r em evidência.

r 2 + α - 1 r - α x r = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como x r 0 , temos a nossa equação característica

r 2 + α - 1 r - α = 0

Δ = α 2 + 2 α + 1 = α + 1 2

Agora temos que analisar os dois casos possíveis para Δ , uma vez que é impossível Δ < 0 .

Δ = 0 ,     α = - 1 Δ > 0 ,     α - 1

Passo 3

Caso Δ = 0 ,     α = - 1 :

Nesse caso teremos uma raiz dupla que será r = 1 e já sabemos que quando temos uma raiz dupla, nós teremos uma solução do seguinte tipo:

y x = x r c 1 + c 2 ln x ,     c 1 , c 2 R

Logo nesse caso teremos

y x = x c 1 + c 2 ln x ,     c 1 , c 2 R

Passo 4

Caso Δ 0 ,     α - 1 :

Nesse caso teremos duas raízes distintas que serão r = 1 e r = - α e já sabemos que temos uma solução do seguinte formato quando temos duas raízes distintas.

y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2 ,     c 1 , c 2 R  

Logo nesse caso teremos:

y x = c 1 x + c 2 x - α ,     c 1 , c 2 R

Passo 5

b)

No primeiro caso teremos ( α = - 1 )

lim x 0 + x - 1 x c 1 + c 2 ln x = c 1 + c 2 lim x 0 + ln x = 0

Isso só será verdade se c 1 = c 2 = 0 , ou seja a solução nula.

Passo 6

No segundo caso teremos

lim x 0 + x α ( c 1 x + c 2 x - α ) = c 2 + c 1 lim x 0 + x α + 1 = 0

Isso só será verdade se c 1 = c 2 = 0 ou α + 1 > 0   e   c 2 = 0 . De qualquer forma teremos soluções que não satisfazem essa condição

Logo não existe valore real de α que satisfaça a propriedade exigida.

Resposta

  1. Para α = - 1
  2. y x = x c 1 + c 2 ln x ,     c 1 , c 2 R

    Para α - 1

    y x = c 1 x + c 2 x - α ,     c 1 , c 2 R

  3. Não existe valor real de α que satisfaça a propriedade exigida.

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