Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Qual das afirmações abaixo é verdadeira:

  1. Em R 42 um conjunto de 42 vetores é LD se não for gerador.
  2. Em R 28 ,um conjunto com 25 vetores é necessariamente LI.
  3. Em R 83 , um conjunto com 83 vetores pode ser gerador e não se LI.
  4. Em R 39 um conjunto com 44 vetores é necessariamente gerador.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nessa questão, vamos revisar o conceito de conjuntos geradores de um espaço vetorial.

Nosso objetivo é verificar quais das alternativas são verdadeiras. Vamos começar pela letra a)

A primeira alternativa diz que

Em R 42 um conjunto de 42 vetores é LD se não for gerador

E aí, o que vocês acham? É verdade ou não?

Bem, qual é o menor número de vetores LI necessários para gerar R 42 ? Serão 42, certo? Então, se temos um conjunto de 42 vetores que NÃO gera R 42 . Então pelo menos um desses vetores é LD. Logo o conjunto é LD. Sendo assim, verificamos que a primeira afirmação é verdadeira. Vamos checar o porque as outras são falsas.

Passo 2

Vamos verificar a alternativa b). Ela diz que

Em R 28 ,um conjunto com 25 vetores é necessariamente LI.

E aí? Será que é verdade? Podemos tomar um conjunto contendo 25 vetores idênticos, o que claramente será LD. Logo a afirmação é falsa.

No mesmo espírito podemos verificar a alternativa d) que diz que

Em R 39 um conjunto com 44 vetores é necessariamente gerador

Novamente, tomando um conjunto com 44 vetores iguais, claramente não irá gerar R 39 , já que precisamos de exatamente 39 vetores LI para gerar este espaço.

Passo 3

Por fim, vamos checar a letra c). Ela diz que

Em R 83 , um conjunto com 83 vetores pode ser gerador e não se LI.

Bem se o conjunto gera o R 83 , então ele precisa conter 83 vetores LI, como o conjunto tem tamanho 83 e gera o espaço, então ele TEM que ser LI. Concluímos assim que a letra c) é falsa

Então temos que a alternativa que contém a afirmação verdadeira é a a)

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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