Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q9. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e considere as seguintes afirmações:

(i) se B for uma base de V e v ∈ V for ortogonal a todo elemento de B , então v = 0

(ii) se W for um subespaço de V tal que W ⊥ = 0 , então W = V

(iii) se T : V → V for um operador linear e W for um subespaço de V invariante por T , então W ⊥ também será invariante por T .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

b) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;

d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

e) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaa.. beleza??

Nessa questão vamos analisar as alternativas e dizer quais são necessariamente verdadeiras.

Pra isso vamos lembrar que para um vetor ser ortogonal ao outro, o produto interno entre os dois deve ser igual a zero.

Também que pra um subespaço W ser invariante por T :

T W = W

Passo 2

i) É verdadeira.

Uma boa forma de ver é se pegarmos o próprio vetor v e fazer o produto interno:

v ⋅ v = 0

Então v = 0 ;

ii) É verdadeira.

Se o complemento ortogonal de W não tem nenhum vetor que seja ortogonal, então W = V

iii) É falsa.

Letra e

Resposta

Letra e

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