Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial real de dimensão 4 munido de um produto interno e sejam B   e   C bases ortonormais de V . Considere as seguintes afirmações:

(I) ( 2 ,   3 ,   4 ,   5 ) não é uma linha da matriz [ I ] C   ← B ;

(II) as matrizes [ I ] C   ← B e [ I ] B ← C possuem o mesmo determinante;

(III) se T   :   V   →   V for um operador linear tal que a matriz   [ T ] B seja simétrica, então a matriz   [ T ] C também será simétrica.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

(d) todas afirmações são necessariamente verdadeiras;

(e) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quais afirmações são verdadeiras. Show? Vamos nessa!!

Começando pela primeira. Ela diz que ( 2 ,   3 ,   4 ,   5 ) não é uma linha da matriz [ I ] C   ← B . Onde B   e   C são bases ortonormais de V . E V tem dimensão 4 . Suponha que

B = { b 1 , b 2 , b 3 , b 4 }   e   C = { c 1 , c 2 , c 3 , c 4 }

então

[ I ] C   ← B = [ [ b 1 ] C   [ b 2 ] C   [ b 3 ] C   [ b 4 ] C ]

mas as bases são ortonormais. Então | | [ b 1 ] C | | = 1   , o que implica que as entradas do vetor são todas menores que 1 . Logo ( 2 ,   3 ,   4 ,   5 ) não é uma linha da matriz [ I ] C   ← B .

Passo 2

A segunda afirmação diz que as matrizes [ I ] C   ← B e [ I ] B ← C possuem o mesmo determinante;

Bem, temos que

[ I ] C   ← B = ( [ I ] B ← C ) - 1

Logo, se

d e t ( [ I ] C   ← B ) = k

⇒ d e t ( [ I ] B ← C ) = 1 / k

mas ambas as bases são ortonormais. Logo k = 1 . O que implica que [ I ] C   ← B e [ I ] B ← C possuem o mesmo determinante;

Por fim, vamos para a terceira afirmativa. Que diz que se T   :   V   →   V for um operador linear tal que a matriz   [ T ] B seja simétrica, então a matriz   [ T ] C também será simétrica.

Bem, temos que

  [ T ] C = [ I ] C   ← B   [ T ] B [ I ] B   ← C

  ⇒ [ T ] t C = ( [ I ] C   ← B   [ T ] B [ I ] B   ← C ) t

= [ I ] C   ← B   ( [ T ] B [ I ] B   ← C ) t [ I ] t C   ← B

pela simetria de [ T ] B

= [ I ] t B   ← C [ T ] B [ I ] t C   ← B

Como as bases são ortonormais

[ I ] t B   ← C = [ I ] C   ← B

[ I ] t C   ← B = [ I ] B   ← C

Então

  [ I ] C   ← B   ( [ T ] B [ I ] B   ← C ) t [ I ] t C   ← B =   [ I ] C   ← B   [ T ] B [ I ] B   ← C = [ T ] C

Logo a terceira afirmativa também é verdadeira.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d)

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