Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Considere o espaço vetorial P ( R ) munido do produto interno definido por:

p , q = ∫ 0 1 p t q t d t ,         p , q ∈ P ( R )

Se a , b ∈ R são tais que q t = a + b t é o elemento de P 1 ( R ) mais próximo de p t = t 4 , então a + b é igual a:

a ) 1 5 ;

b ) 2 5 ;

c ) 3 5 ;

d ) 4 5 ;

e )   1

Passo 1

Falaaa, blzz?? Bora para mais um probleminha envolvendo produto interno. Essa questão é clássica envolvendo produto interno, ela faz com que a gente tenha que tomar algumas atitudes para tratar com o problema.

Primeiro temos que entender o que é dito na parte q t   é o elemento de P 1 ( R ) mais próximo de p t . Essa ideia de um vetor ser o mais próximo de um espaço, te lembra algo?? É a ideia de projeção, essa frase nos diz que:

q = p r o j P 1 ( R )   p

Agora, veja que para atacar esse problema, ou seja, projetar um vetor sobre um espaço, precisamos determinar uma base para ele, vamos tomar B = 1 , t sendo base de P 1 ( R ) . Além disso, vamos lembrar o seguinte conceito:

Vamos tomar um espaço qualquer F = u 1 , … ,   u n e um vetor u qualquer.

p r o j F u ∈ F , ou seja:

p r o j F u = α 1 u 1 + … + α n u n

E pela definição de projeção, temos que:

u - p r o j F u ⊥ u i ,         ∀     i = 1 , … , n  

Passo 2

Agora, vamos usar esses dois conceitos no probleminha:

No nosso caso, vamos tomar P 1 R = u 1 , u 2 , onde u 1 = 1 e u 2 = t , pelas coisinhas que foram ditas:

p - p r o j P 1 R   p ⊥ u 1  

p - p r o j P 1 R   p ⊥ u 2    

Agora, no enunciado ele diz sobre produto interno e acima tá falando de ortogonalidade, sabe como unir essas ideias?? Veja só:

Se p - p r o j P 1 R   p ⊥ u 1 , ou seja p - q ⊥ u 1 , por isso:

p - q , u 1 = 0

Pelas propriedades de produto interno:

p , u 1 - q , u 1 = 0

Mas como q = a + b t , temos que em função da base citada, podemos escrever q = u 1 a + b u 2 , reescrevendo usando isso:

p , u 1 - u 1 a + b u 2 , u 1 = 0

Usando as propriedades novamente, temos que:

p , u 1 =   a u 1 , u 1 + b u 2 , u 1

Agora, veja que podemos fazer o mesmo processo para p - p r o j P 1 R   p ⊥ u 2   ,   bora lá:

p - q ⊥ u 2 ,   o u   s e j a

p - q , u 2 = 0

Pelas propriedades de p.i:

p , u 2 - q , u 2 = 0

E agora usando novamente que q = u 1 a + b u 2

p , u 2 - a u 1 , u 2 - b u 2 , u 2 = 0

E com isso

p , u 2 = a u 1 , u 2 + b u 2 , u 2

Passo 3

Agora unindo os 2, temos que:

p , u 1 = a u 1 , u 1 +   b u 2 , u 1 p , u 2 = a u 1 , u 2 +   b u 2 , u 2

Bora calcular esses carinhas:

p , u 1 =   ∫ 0 1 t 4 d t

Resolvendo a integral:

p , u 1 =   t 5 5 ​ 0 1

Ou seja

p , u 1 =   1 5

Agora olhando para outro termo:

p , u 2 =   ∫ 0 1 t 5 d t

Pelo mesmo processo p , u 2 = 1 6

E ainda temos que:

u 1 , u 1 =   ∫ 0 1 1 d t

Então:

u 1 , u 1 = 1

Agora bora olhar para:

u 2 , u 2 =   ∫ 0 1 t 2 d t

Dando que u 2 , u 2 = 1 3

E por fim, finalmente, temos que:

u 2 , u 1 =   ∫ 0 1 t   d t

E por isso

u 2 , u 1 = 1 2

Colocando esses valores no sisteminha lá de cima:

1 5 = a + b 2 1 6 = a 2 + b 3

Multiplicando a segunda por 2 e subtraindo da primeira, temos que:

2 b 3 - b 2 = 1 3 - 1 5

Ou seja:

b = 4 5

E colocando isso na primeira equação, temos que a = - 1 5

Ou seja, temos que a + b = 3 5

Resposta

Letra C

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