Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

12. Em R 4 , com o produto interno usual, seja T : R 4 → R 4 um operador linear cujos autovalores distintos são λ 1 , λ 2 e λ 3 e que satisfaz K e r T - λ 1 I = 1 ,   0 ,   1 ,   1 , 2 ,   0 ,   1 ,   0 e K e r T - λ 2 I = 1 ,   0 ,   - 2 ,   1 . Considere as seguintes afirmações:

I. T certamente não é simétrico.

II. Se T é simétrico, então existem a ,   b ,   c ,   d ∈ R tais que K e r T - λ 3 I = a ,   b ,   c ,   d com a b c d   =   0 .

III. T certamente é diagonalizável, e existem a ,   b ,   c ,   d ∈ R tais que K e r T - λ 3 I = a ,   b ,   c ,   d com a b c d = 0 .

Está correto apenas o que se afirma em:

(A) II.

(B) II e III.

(C) I.

(D) I e III.

(E) III.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos uma matriz transformação T em que T : R 4 → R 4 que possui três autovalores distintos λ 1 , λ 2 e λ 3 onde K e r T - λ 1 I = 1 ,   0 ,   1 ,   1 , 2 ,   0 ,   1 ,   0 e K e r T - λ 2 I = 1 ,   0 ,   - 2 ,   1 .

A partir daqui, podemos julgar algumas afirmações e dizer quais são verdadeiras!

Entendeu?

Não sabemos quais os valores dos autovalores então K e r T - λ 3 I pode ser qualquer vetor.

Vamos analisar cada afirmação separadamente e verificar sua veracidade.

Bora lá!

Passo 2

A afirmação I diz que T certamente não é simétrico.

Para esse item ser verdadeiro, não podemos ter um núcleo K e r T - λ 3 I ortonormal a K e r T - λ 1 I ∩ K e r T - λ 2 I , porém, uma possibilidade é que

K e r T - λ 3 I = 0,1 , 0,0

Os autoespaços seriam dois a dois ortogonais e, portanto, T seria simétrica.

Portanto essa afirmação é falsa.

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Na afirmação II temos justamente o contrário... se T é simétrico, então existem a ,   b ,   c ,   d ∈ R tais que K e r T - λ 3 I = a ,   b ,   c ,   d com a b c d = 0

Usando o mesmo exemplo da afirmação anterior, se K e r T - λ 3 I = 0,1 , 0,0 a matriz T é simétrica e a b c d = 0 .

Então essa afirmação é verdadeira!

Legal, né?

Passo 4

Por último, no item III diz que T certamente é diagonalizável e existem a ,   b ,   c ,   d ∈ R tais que K e r T - λ 3 I = a ,   b ,   c ,   d com a b c d = 0 .

Sabemos que uma matriz é diagonalizavel se seus autovetores forem LI.

Nesse caso, podemos determinar um vetor K e r T - λ 3 I = a ,   b ,   c ,   d , com a b c d ≠ 0 sendo que K e r T - λ 1 I , K e r T - λ 2 I e K e r T - λ 3 I sejam LI.

Esse vetor é dado por

K e r T - λ 3 I = 1,1 , 1,1

Logo, essa afirmação é falsa!

E com isso, vemos que a alternativa correta é a letra A)!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

(A) II.

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