Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q3. Considere o espaço vetorial R 2 munido do seu produto interno usual e as bases

B = 1,0 , 1,1   e C = 1 , - 1 , 0,2

De R 2 . Se T : R 2 → R 2 e U : R 2 → R 2 são os operadores lineares tais que

T B C = 4 - 3 - 3 4 e U B C = 1 1 1 2 1 2 ,

Então:

a) T é simétrico e U não é simétrico;

b) T e U são ambos simétricos e têm polinômios característicos diferentes;

c) T não é simétrico e U é simétrico;

d) T e U são ambos simétricos e têm o mesmo polinômio característico;

e) nem T nem U são simétricos.

Passo 1

Falaaa.. beleza?? Nessa questão temos que analisar se esses operadores lineares aí são simétricos.

Pra isso precisamos lembrar o operador linear é simétrico se a matriz que o representa em uma base ortonormal é simétrica.

Passo 2

Já vamos começar tomando um suuuuper cuidado.

A gente pode até olhar pras matrizes que representam os operadores lineares e falar que T é simétrico e U não é simétrico, maaaaas isso vai estar errado.

Nós só podemos dizer se o operador linear é sim��trico, se a base for ortonormal. A base mais conhecida que é ortonormal é base canônica:

1,0 , 0,1

Queremos achar, então T 1,0 e T 0,1 pra poder montar a matriz T c a n e U ( 1,0 ) e U 0,1 para poder montar a matriz U c a n .

Passo 3

Como temos a matriz mudança de base B para C , temos para T :

T 1,0 = 4 1 , - 1 + - 3 0,2 = 4 , - 10

T 1,1 = - 3 1 , - 1 + 4 0,2 = - 3,11

Mas queremos T ( 0,1 ) , que é T 1,1 - T ( 0,1 ) :

T 0,1 = - 3,11 - 4 , - 10 = - 7,21

Então:

T c a n = 4 - 7 - 10 21

Que não é simétrica.

Temos para U :

U 1,0 = 1 1 , - 1 + 1 2 0,2 = 1 , 0

U 1,1 = 1 1 , - 1 + 1 2 0,2 = 1 , 0

Mas queremos U ( 0,1 ) , que é U 1,1 - U ( 0,1 ) :

U 0,1 = 1,0 - 1,0 = 0,0

Então:

U c a n = 1 0 0 0

Que é simétrica.

Então, T não é simétrica e U é simétrica.

Resposta

Letra C

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