Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q15. Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço de R 4 definido por:

S = { x , y , z , t ∈ R 4 : 2 x + 3 y - t = 0 e y - z + t = 0 } .

Assinale a alternativa correspondente a uma base de S ⊥ :

a) - 1,1 , 0,0 , - 1,0 , 2,0 , 1,0 , 0,1 ;

b) - 2,1 , 0,0 , 1,0 , 2,0 , 0,0 , 0,1 ;

c) - 3,2 , 2,0 , 2 , - 1,0 , 1

d) 2.4 . - 1.0

e) 2,3 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,1 .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos procurar uma base do complemento ortogonal de S .

Pra isso vamos lembrar que para o complemento ortogonal o produto interno é igual a zero.

Passo 2

Repara que podemos escrever as equações em formato de produto interno:

Para 2 x + 3 y - t = 0 :

2,3 , 0 , - 1 ⋅ x , y , z , t = 0

Como x , y , z , t ∈ S , então 2,3 , 0 , - 1 ∈ S ⊥ .

Para y - z + t = 0 :

0,1 , - 1,1 ⋅ x , y , z , t = 0

Como x , y , z , t ∈ S , então 0,1 , - 1 , 1 ∈ S ⊥ .

Então uma base de S �� é   2,3 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,1 .

Letra e

Resposta

Letra e

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