Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Considere os subespaços S 1   e   S 2 do espaço vetorial M 3 ( R ) definidos por:

S 1   = A   ∈   M 3 ( R )   :   A t   =   A   e   S 2   = ( a i j   ) 3 × 3   ∈   M 3 ( R )   :   a 13   +   a 22   +   a 31   =   0

em que A t denota a transposta de uma matriz A . Temos que d i m ( S 1   ∩   S 2 ) é igual a:

  1. 5
  2. 3
  3. 4
  4. 6
  5. 7

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Queremos descobrir a dimensão de d i m ( S 1   ∩   S 2 ) , onde

S 1   = A   ∈   M 3 ( R )   :   A t   =   A e   S 2   = ( a i j   ) 3 × 3   ∈   M 3 ( R )   :   a 13   +   a 22   +   a 31   =   0

Ou seja, S 1 são as matrizes simétricas 3 x 3 e S 2 as matrizes 3 x 3 onde seus elementos satisfazem   a 13   +   a 22   +   a 31   =   0 .

Como fazemos isso? Ora, podemos achar uma base para S 1   ∩   S 2 . Vamos fazer isso

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Se A ∈ S 1 , então:

Mas se A ∈ S 2 então

a 13   +   a 22   +   a 31   =   0

Ou seja, temos que

c + e + c = 0

⇒ e = - 2 c

Logo, se A ∈ S 1   ∩   S 2 , A é da forma

Passo 5

Descobrimos que se A ∈ S 1   ∩   S 2 , A é da forma

mas qual é a dimensão desse espaço? Bem, note que A tem exatamente 5 variáveis livres na matriz. Logo, a d i m ( S 1   ∩   S 2 ) = 5

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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