Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Seja F ( R , R ) o espaço vetorial de todas as funções f : R → R e seja W o subespaço de F ( R , R ) definido por

W = f 1 , f 2 ,   f 3 ,   f 4 ,

em que

f 1 t = t ,     f 2 t = t c o s 2 t ,       f 3 t = t c o s 2 t         e         f 4 t = t 2 + cos ⁡ 2 t ,

para todo t ∈ R . Uma base para W é:

a) { f 1 ,   f 2 ,   f 3 ,   f 4 }

b) { f 1 ,   f 2 ,   f 3 }

c) f 4 ;

d) { f 1 ,   f 2 }

e) { f 1 ,   f 2 ,   f 4 }

Passo 1

Olá gente, tudo bem?

Nessa questão recebemos um subespaço W composto por 4 funções:

f 1 t = t ,     f 2 t = t c o s 2 t ,       f 3 t = t c o s 2 t         e         f 4 t = t 2 + cos ⁡ 2 t ,

E, precisamos determinar uma base para esse subespaço.

Para termos uma base precisamos selecionar as funções que são linearmente independentes e que sejam capazes de gerar todas as outras através de combinação linear.

Portanto, é justamente isso que vamos fazer. Vamos identificar quais funções dentre as 4 que compõem W , podem ser geradas por combinação linear das demais.

Vamo lá!

Passo 2

Temos:

f 1 t = t ,     f 2 t = t c o s 2 t ,       f 3 t = t c o s 2 t         e         f 4 t = t 2 + cos ⁡ 2 t

Vamos começar analisando as mais complexas.

f 4 t = t 2 + cos ⁡ 2 t

= 2 ⋅ t + 1 ⋅ t c o s 2 t

Só de termos aberto a expressão de f 4 já conseguimos perceber que ela é combinação linear de f 1 e f 2 .

Vamos analisar f 3 :

f 3 t = t c o s 2 t  

À primeira vista ela não é combinação linear de f 1 e f 2 , mas devemos nos lembrar de uma propriedade trigonométrica bem interessante:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Substituindo na nossa expressão, temos:

f 3 t = t ⋅ 1 + cos ⁡ 2 t 2

= 1 2 ⋅ t + 1 2 ⋅ t cos ⁡ 2 t

Olha aí, tava escondido haha, mas apareceu. f 3 também é uma combinação de linear de f 1 e f 2 .

Pra finalizar, precisaríamos apenas analisar f 1 e f 2 pra ver se alguma delas é combinação linear da outra.

f 1 t = t ,     f 2 t = t c o s 2 t

f 2 possui uma função trigonométrica que não existe em f 1 . Sendo assim, ela não pode ser obtida apenas multiplicando f 1 por um escalar.

Sendo assim, chegamos que uma base de W é:

{ f 1 ,   f 2 }

Ou seja, letra d).

Resposta

Letra d).

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