Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, S 1 e S 2 subespaços de V e B 1 e B 2 bases de S 1 e S 2 , respectivamente. Considere as seguintes afirmações:

I o conjunto { v 1 + v 2   : v 1 ∈ B 1 ,   v 2 ∈ B 2 } é uma base de S 1 + S 2 ;

I I existe uma base de S 1 ∩ S 2 que contém o conjunto B 1 ∩ B 2 ;

( I I I ) existe uma base de V que contém o conjunto B 1 ∪ B 2 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos dois subespaços de um espaço vetorial V : S 1 e S 2 . Sobre S 1 e S 2 é dito que B 1 e B 2 , respectivamente, são suas bases. A partir daí são feitas 3 afirmações. Vamos analisar cada uma delas separadamente.

A afirmação ( I ) basicamente diz que o conjunto formado pela soma dos elementos de B 1 e B 2 é uma base de S 1 + S 2 .

Para analisar essa afirmação precisamos lembrar que para um conjunto ser chamado base de um subespaço ele precisa atender duas coisas:

1 ) Ser capaz de gerar qualquer elemento do subespaço vetorial.

2 ) Ser formado apenas por vetores L . I .

E é aí que mora o problema, vamos dar um contraexemplo pra deixar bem claro. Seja

B 1 = 1 ,   1 +   t

E:

B 2 = 1 ,   t ,   t 2

A soma dos elementos de B 1 e B 2 gera o conjunto:

2 ,   2 + t ,   1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + t 2 ,   1 + t + t 2

Mas esse conjunto não é formado apenas por vetores L . I . O vetor:

2 + t = 1 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + t + 0 ⋅ 1 + 2 t + 0 ⋅ 1 + t 2 + 0 ⋅ ( 1 + t + t 2 )

É uma combinação linear dos demais. Portanto, o conjunto { v 1 + v 2   : v 1 ∈ B 1 ,   v 2 ∈ B 2 } não é uma base de S 1 + S 2 .

Passo 2

Já na afirmação ( I I ) é falado que existe uma base da intersecção S 1 ∩ S 2 , que contém B 1 ∩ B 2 .

Vamos analisar essa afirmação.

O conjunto B 1 ∩ B 2 é capaz de gerar elementos que pertencem tanto a S 1 como a S 2 . Ou seja, ele é capaz de gerar elementos que pertencem a S 1 ∩ S 2 .

Assim, se B é uma base de S 1 ∩ S 2 , ela também precisa gerar os elementos que são gerados por B 1 ∩ B 2 . Então, B pode ser formado por:

B = { B 1 ∩ B 2 ,   v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n }

Assim, garantimos que existe uma base de S 1 ∩ S 2 que contém B 1 ∩ B 2 .

Passo 3

A afirmação ( I I I ) diz que existe uma base de V , o espaço vetorial, que contém B 1 ∪ B 2 .

Então, aqui tem uma pegadinha que mais uma vez está no conceito de base. Como comentamos no passo 1 , uma base precisa ser formada por elementos linearmente independentes. Mas, existem casos em que B 1 ∪ B 2 , será formada por elementos linearmente dependentes.

Vamos dar um contraexemplo para a afirmação ( I I I ) .

Suponhamos que:

B 1 = 1 ,   t ,   t 2

E:

B 2 = 1 + t ,   t 3

Então, quando fazemos B 1 ∪ B 2 , temos:

B 1 ∪ B 2 = 1 ,   t ,   1 + t ,   t 2 ,   t 3

Esse conjunto, como podemos ver possui elementos linearmente dependentes.

1 + t = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ t + 0 ⋅ 1 + t + 0 ⋅ t 2 + 0 ⋅ t 2

Assim, se uma suposta base de V contém B 1 ∪ B 2 , ela também seria linearmente dependente, logo não seria uma base. Sacaram?

Por isso, a afirmação ( I I I ) é falsa.

Com isso, chegamos na resposta: letra e).

Espero que vocês tenham gostado, até a próxima 😊

Resposta

Letra e).

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