Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q11. Seja A ∈ M 3 R uma matriz cujos únicos autovalores reais sejam 1 e 3. Pode-se afirmar que:

a) A é simétrica;

b) A é diagonalizável sobre R ;

c) o polinômio característico de A é p A t = t - 1 t - 3

d) a soma das entradas na diagonal principal de A é igual a 4;

e) A é inversível.

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão precisamos lembrar da propriedade que uma matriz é inversível se, e somente se, 0

não é um autovalor de A .

Passo 2

a) Não podemos afirmar que ela seja simétrica.

b) Também não podemos afirmar que ela é diagonalizável. Poderíamos, se ela fosse simétrica.

c) Como a matriz tem dimensão 3, então o polinômio característico ou seria p t = t - 1 2 ( t - 3 ) ou p t = t - 1 t - 3 2 pois precisa ter três autovalores e os únicos autovalores reais são 1 e 3. Um dos dois se repete. Não poderia ser um autovalor complexo porque o seu conjugado também deveria ser.

d) não podemos afirmar. Seria verdade absoluta, se a matriz fosse diagonal.

e) é a verdadeira, pela propriedade, pois 0 não é autovalor de A .

Letra e

Resposta

Letra e

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