Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Q10. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e T : V → V um operador linear. Suponha que exista uma base B de V tal que a matriz T B seja simétrica. Considere as seguintes afirmações:

(i) o operador T é simétrico;

(ii) o operador T é diagonalizável;

(iii) existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;

c) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos analisar as afirmações e dizer se estão necessariamente verdadeiras.

Pra isso vamos precisar lembrar da definição de operador linear simétrico: dizemos que o operador linear é simétrico se a matriz que o representa numa base ortonormal é simétrica.

Passo 2

(i) Para o operador simétrico, ele teria que ter falado que a matriz B é ortonormal, então é FALSA.

(ii) é VERDADEIRA, como T B é simétrica, então T é diagonalizável.

(iii) Para essa afirmação ser verdadeira, também deveria ser dito, que T B é simétrica em uma base B ortonormal. Então é FALA.

Letra d

Resposta

Letra d

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