Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(a) R 2 com as operações de soma e multiplicação por escalar abaixo não é espaço vetorial.

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 - y 2 )

λ x , y = ( λ x , λ y )

Passo 1

O R 2 definido nessa questão é:

  • Não vazio;
  • Fechado para soma (a soma de dois elementos resulta em um terceiro elemento de R 2 );
  • Fechado para a multiplicação por escalar (a multiplicação por um escalar resulta em um vetor de R 2 ).

Então vamos ter que testar aqueles 8 axiomas da soma e multiplicação por escalar pra ver se ele é realmente um espaço vetorial.

Mas, será que precisamos testar cada um dos 8???

Reparem que, na nova soma que a questão definiu, o segundo elemento do vetor soma faz a segunda coordenada do primeiro vetor menos a segunda coordenada do segundo vetor.

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 - y 2 )

Se a gente trocar a ordem dos vetores da soma, o resultado vai ser diferente, né? Olha só:

x 2 , y 2 + x 1 , y 1 = ( x 2 + x 1 , y 2 - y 1 )

Isso significa que a soma não é comutativa!

E a comutatividade é um dos 8 axiomas que falei antes.

Então, por não respeitar essa regrinha, o R 2 com essas operações não é um espaço vetorial.

A afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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