Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno ⟨ · ,   · ⟩ e denote por

∥   ·   ∥ a norma correspondente. Considere as seguintes afirmações:

(I) se   S 1   e   S 2 são subespaços de V , então   ( S 1   +   S 2 ) ⊥   =   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥ ;

(II) para quaisquer v ,   w   ∈   V , vale que ⟨ v ,   w ⟩   =   ∥ v ∥   ∥ w ∥ se, e somente se, v   e   w são linearmente

dependentes;

(III) se d i m ( V   )   =   n e se e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n   ∈   V são dois a dois ortogonais e não nulos, então V é igual a [ e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n ] .

Assinale a alternativa correta:

(a) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

(b) Todas as afirmações são verdadeiras.

(c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

(d) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

(e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir quais afirmações são verdadeiras. Bem então vamos checar cada uma delas.

Como hipóteses, temos que V é um espaço vetorial com produto interno. A primeira afirmação diz que

se   S 1   e   S 2 são subespaços de V , então   ( S 1   +   S 2 ) ⊥   =   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥ ;

Como podemos verificar essa afirmação? Para isso, precisamos lembrar da seguinte prorpriedade do complemento ortogonal. Seja

A ⊂ B

então,

B ⊥ ⊂ A ⊥

O que faz sentido, já que se um elemento é ortogonal a todos os elementos de B ele será ortogonal a todos os elementos de A .

Então, como:

S 1 ⊂ S 1   +   S 2

S 2 ⊂ S 1   +   S 2

Usando nossa propriedade, temos:

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊂   S 1 ⊥

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊂   S 2 ⊥

Ora mas se ( S 1   +   S 2 ) ⊥ está em dois conjuntos simultaneamente, isso quer dizer que ele está na interseção desses conjuntos. Logo

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊂   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥

Passo 2

Mostramos que

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊂   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥

Agora vamos verificar se

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊃   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥

Seja, z ∈   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥ , então para todos s 1   ∈ S 1     e   s 2   ∈ S 2 tem-se:

< z , s 1 + s 2 > = < z , s 1 > + < z , s 2 >

= 0 + 0

Pois z está no complemento ortogonal de S 1   e   S 2 .

Mas isso é verdade para todos s 1   ∈ S 1     e   s 2   ∈ S 2 , logo todos esses vetores são ortogonais a z . Então:

z ∈ ( S 1   +   S 2 ) ⊥

Ou seja,

( S 1   +   S 2 ) ⊥   ⊃   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥

Dessa forma, provamos que

( S 1   +   S 2 ) ⊥   =   S 1 ⊥   ∩   S 2 ⊥

Passo 3

Vamos para a segunda afirmação ela diz que para quaisquer v ,   w   ∈   V , vale que ⟨ v ,   w ⟩   =   ∥ v ∥   ∥ w ∥ se, e somente se, v   e   w são linearmente dependentes;

E ai? Será que é verdade? Vamos pegar dois vetores LD bem simples os vetores

v   e   - v

Temos que

< v , - v > = - < v , v >

= - | | v | | 2

E dessa forma, mostramos que essa afirmação é falsa

Passo 4

Para finalizar, a terceira afirmação diz que se d i m ( V   )   =   n e se e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n   ∈   V são dois a dois ortogonais e não nulos, então V é igual a [ e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n ] .

Então vamos pensar aqui. Temos uma coleção de vetores, onde eles são dois a dois ortogonais, isto é, são todos ortogonais entre si. Logo serão linearmente independentes.

Mas se temos um conjunto de n vetores LI em um espaço de dimensão n então podemos gerar esse espaço com esses vetores LI. Logo

V é igual a [ e 1 ,   e 2 ,   .   .   .   ,   e n ]

A afirmação é verdadeira. Dessa forma, vimos que a primeira e terceira afirmações são verdadeiras.

Logo devemos marcar a alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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