Exercícios Resolvidos de Espaços Vetoriais

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Enunciado

Sejam considere os subespaços

S 1   =   [ ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 ) , ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 ) , ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) ]

S 2   = ( a ,   b ,   c ,   d ,   e )   ∈   R 5 :   2 c   +   d   −   2 e   =   0

Temos que d i m ( S 1   +   S 2 )   −   d i m ( S 1   ∩   S 2 ) é igual a:

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 2
  5. 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir o valor de

d i m ( S 1   +   S 2 )   −   d i m ( S 1   ∩   S 2 )

Sabendo que

S 1   =   [ ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 ) , ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 ) , ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) ]

S 2   = ( a ,   b ,   c ,   d ,   e )   ∈   R 5 :   2 c   +   d   −   2 e   =   0

Bem, mas para fazermos isso precisamos relembrar a seguinte relação entre as dimensões do subespaço gerado pela soma direta de dois subespaços. A relação é a seguinte:

d i m ( S 1 )   + d i m (   S 2 )   = d i m ( S 1   +   S 2 )   +   d i m ( S 1   ∩   S 2 )

Essa equação diz que quando fazemos a soma das dimensões de dois espaços, acabamos somando as dimensões que eles têm em comum duas vezes.

Agora que temos essa relação, vamos calcular

d i m ( S 1 )   , d i m (   S 2 ) , d i m ( S 1   ∩   S 2 )    

Passo 2

Bem, vamos começar calculando d i m ( S 1 ) . A dimensão de um espaço é o número de vetores LI que o espaço tem. Como

S 1   =   [ ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 ) , ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 ) , ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) ]

Podemos ver que os dois primeiros vetores são LI entre si, mas será que o terceiro vetor também é LI?

Como a terceira entrada do vetor ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) é dois e as terceiras entradas dos outros vetores são zero, não vai existir uma combinação linear entre ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 )   e   ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 )

que gere ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) . Logo os três vetores são LI. Portanto

d i m ( S 1 ) = 3

Vamos para d i m (   S 2 )

Passo 3

Temos que

S 2   = ( a ,   b ,   c ,   d ,   e )   ∈   R 5 :   2 c   +   d   −   2 e   =   0

Ou seja, são os vetores que satisfazem

2 c   +   d   −   2 e + 0 a + 0 b   =   0

Temos uma equação e 5 incógnitas, logo temos um sistema com 4 variáveis livres. Isso quer dizer que podemos escolher quaisquer valores para 4 das variáveis e ainda sim podemos resolver o sistema. Dessa forma concluímos que

d i m (   S 2 ) = 4

O número de variáveis livres.

Passo 4

Agora vamos obter   d i m ( S 1   ∩   S 2 ) , para isso, vamos descobrir qual é essa interseção. Bem para

v ∈ S 1   ∩   S 2

v tem que pertencer a aos dois conjuntos. Então, para verificarmos a dimensão de S 1   ∩   S 2 , só precisamos verificar quais combinações lineares dos elementos da base de S 1 estão em S 2 . Como

S 1   =   [ ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 ) , ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 ) , ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) ]

S 2   = ( a ,   b ,   c ,   d ,   e )   ∈   R 5 :   2 c   +   d   −   2 e   =   0

queremos ver quando

a ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   − 1 ) + b ( 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   − 1 ) + c ( 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ) ∈ S 2

Ou seja, quando

( a + 2 b , 2 b + c , 2 c , b + 3 c , - a - b + 4 c ) ∈ S 2

Mas para isso acontecer, precisamos que

0   =   2 ( 2 c )   +   ( b   +   3 c )   −   2 ( − a   −   b   +   4 c )   =   2 a   +   3 b   −   c ,

⇒ 2 a + 3 b - c = 0

Temos uma equação com 2 variáveis livres. Logo,

  d i m ( S 1   ∩   S 2 ) = 2

Dessa forma, como

d i m ( S 1 )   + d i m (   S 2 )   = d i m ( S 1   +   S 2 )   +   d i m ( S 1   ∩   S 2 )

Temos que

d i m ( S 1   +   S 2 ) = 5

Logo

d i m ( S 1   +   S 2 )   -   d i m ( S 1   ∩   S 2 ) = 3

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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